二值形态学

1、膨胀

膨胀是使图像中的目标“生长”或“变粗”的过程。这种特殊的方法和生长程度由一种被称为结构元的形状来控制。结构元的原点必须被明确表明。
把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba击中X，我们记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。用公式表示为：
D(X)={a | Ba↑X}=X⊕B
如图6所示。图6中X是被处理的对象，B是结构元素，不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的，这就是为什么叫膨胀的原因。
　　同样，如果B不是对称的，X被B膨胀的结果和X被 Bv膨胀的结果不同。
　 让我们来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。在图7中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，中间是结构元素B。膨胀的方法是，拿B的中心点（注意必须是中心）和X上的点及X周围的点一个一个地对，如果B上有一个点落在X的范围内，则该点（中心点）就为黑；右边是膨胀后的结果。可以看出，它包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的。
　

实际编程中可以通过腐蚀来达到膨胀的目的。

AC代表A的补集，-B表示B关于原点的对称集。

2、腐蚀

把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba包含于X，我们记下这个a点，所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B腐蚀(Erosion)的结果。用公式表示为：
E(X)={a| Ba X}=X B
如图1所示。

图中X是被处理的对象，B是结构元素。不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，Ba 包含于X，所以X被B腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因。
值得注意的是，上面的B是对称的，即B的对称集Bv=B，所以X被B腐蚀的结果和X被 Bv腐蚀的结果是一样的。如果B不是对称的，让我们看下图2，就会发现X被B腐蚀的结果和X被 Bv腐蚀的结果不同。

图1和图2都是示意图，让我们来看看实际上是怎样进行腐蚀运算的。
在图3中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，中间是结构元素B，那个标有origin的点是中心点，即当前处理元素的位置，我们在介绍模板操作时也有过类似的概念。腐蚀的方法是，拿B的中心点和X上的点一个一个地对比，如果B上的所有点都在X的范围内，则该点保留，否则将该点去掉；右边是腐蚀后的结果。可以看出，它仍在原来X的范围内，且比X包含的点要少，就象X被腐蚀掉了一层。

3、开运算

假定A为输入图像，B为结构元素，利用B对A做开运算，用符号 表示，定义为：

所以，开运算实际上是A先被B腐蚀，然后再被B膨胀的结果。开运算通常来消除小对象物、在纤细点处分离物体、平滑较大边界的同时并不明显改变其体积。

从图可以看出，开运算具有两个显著的作用：
·利用圆盘可以磨光举行内边缘
·用可以得到图像的尖角，因此圆盘的圆化作用可以起到低通滤波的作用。

4、闭运算

闭运算是开运算的对偶运算，定义为先做膨胀再做腐蚀。

闭运算通常用来填充目标内的细小空洞、连接断开的近邻目标、平滑其边界的同时并不明显改变其面积。用下图描述闭运算的过程及结果。显然，用闭运算对图像的外部做滤波，仅仅磨光了凸向图像内部的边角。

二值开运算和闭运算的效果图如下：

开运算作用：平滑轮廓；断开细的连接部分；去掉细的突出；去除比结构元小的孤立物。
闭运算作用：平滑轮廓；链接窄的断裂；填满比结构元小的空。