差分进化算法（Differential Evolution)

1.算法提出及思想来源

差分进化算法（Differential Evolution，DE)于1997年由Rainer Storn和Kenneth Price在遗传算法等进化思想的基础上提出的，本质是一种多目标（连续变量）优化算法（MOEAs），用于求解多维空间中整体最优解。

差分进化思想来源即是早期提出的遗传算法（Genetic Algorithm，GA），模拟遗传学中的杂交(crossover)、变异(mutation)、复制(reproduction)来设计遗传算子。

差分进化算法相对于遗传算法而言，相同点都是通过随机生成初始种群，以种群中每个个体的适应度值为选择标准，主要过程也都包括变异、交叉和选择三个步骤。不同之处在于遗传算法是根据适应度值来控制父代杂交，变异后产生的子代被选择的概率值，在最大化问题中适应值大的个体被选择的概率相应也会大一些。而差分进化算法变异向量是由父代差分向量生成，并与父代个体向量交叉生成新个体向量，直接与其父代个体进行选择。显然差分进化算法相对遗传算法的逼近效果更加显著。

2.算法过程：

DE的群体由突变和选择过程驱动。突变过程，包括突变和交叉操作，这两步操作被设计用于利用或探索搜索空间，而选择过程被用于确保有希望的个体的信息可以进一步利用。

(1)种群初始化：

在解空间中随机均匀产生M个个体，每个个体由n维向量组成

Xi(0)=(xi,1(0),xi,2(0),xi,3(0),…,xi,n(0))i=1,2,3,…,M

第i个个体的第j维值取值方式如下：

Xi,j(0)=Lj_min+rand(0,1)(Lj_max−Lj_min)i=1,2,3,…,Mj=1,2,3,…,n

对于群体规模参数M，一般介于5×n与10×n之间，但不能少于4×n

(2)变异:

在第g次迭代中，从种群中随机选择3个个体Xp1(g),Xp2(g),Xp3(g),且p1≠p2≠p3≠i，生成的变异向量为：

Hi(g)=Xp1(g)+F⋅(Xp2(g)−Xp3(g))

其中Δp2,p3(g)=Xp2(g)−Xp3(g)是差分向量，F是缩放因子

对于缩放因子F，一般是在[0,2]之间选择，通常取0.5

参数F的自适应调整：

将变异算子中随机选择的三个个体进行从优到劣的排序，得到Xb,Xm,Xw,对应适应度fb,fm,fw,变异算子改为：

Vi=Xb+Fi(Xm−Xw)

同时，F的取值根据生成差分向量的两个个体自适应变化：

Fi=Fl+(Fu−Fl)fm−fbfw−fb其中，Fl=0.1,Fu=0.9

变异策略：

DE/rand/1:Vi(g)=Xp1(g)+F⋅(Xp2(g)−Xp3(g))

DE/best/1:Vi(g)=Xbest(g)+F⋅(Xp1(g)−Xp2(g))

DE/current to best/1:Vi(g)=Xi(g)+F⋅(Xbest(g)−Xi(g))+F⋅(Xp1(g)−Xp2(g))

DE/best/2:Vi(g)=Xbest(g)+F⋅(Xp1(g)−Xp2(g))+F⋅(Xp3(g)−Xp4(g))

DE/rand/2:Vi(g)=Xp1(g)+F⋅(Xp2(g)−Xp3(g))+F⋅(Xp4(g)−Xp5(g))

(3)交叉:

vi,j={hi,j(g)xi,j(g),rand(0,1)≤cr,else

其中cr∈[0,1]为交叉概率

参数cr的自适应调整：

其中fi是个体Xi的适应度，fmin与fmax分别是当前种群中最差和最优个体的适应度，f¯是当前种群适应度平均值,crl和cru分别是cr的下限与上限，一般crl=0.1,cru=0.6

(4)选择:

Xi(g+1)={Vi(g)Xi(g),f(Vi(g))<f(Xi(g)),else

对于每个个体，Xi(g+1)要好于或持平于Xi(g),通过变异，交叉，选择达到全部最优。

伪代码：