【模板】树状数组

树状数组可以解决什么样的问题

对于包含n个元素的整数数组a，每次可以
1. C(i, j): 修改一个元素a[i] = j
2. Q(i): 询问前缀Si=a1+a2+…+ai的值

lowbit值

在说树状数组之前，我们不得不说一下lowbit值
设c[i]=a[i-2k+1]+…+a[i],其中k为i在二进制下末尾0的个数
令LOWBIT(i)=2^k
例如, i=1001010110010000, 则k=4
因为补码的原理是:正数变负数时,按位取反 末位加一
所以对于正数x 我们不难得到lowbit公式: lowbit(x)=x and -x

树状数组是一个动态维护前缀和的数据结构

网上最“火”的图应该是这个

修改操作

当修改c[x]时, 可能有很多c随之修改
例如,对于x=76=01001010，可以得到：
p1= 01001010
p2= 01001100
p3= 01010000
p4= 01100000
p5= 10000000
所以
•P1=x
•Pi+1=Pi+LOWBIT(Pi)
则需要依次修改C[p1],C[p2],…

询问操作

如何计算A[1]+…+A[x]？
首先累加C[x], 因为它的定义是以x结尾的连续和,它的连加起点是C[i-LOWBIT(i)+1]
因此问题转化为了求A[1]+…+A[i-LOWBIT(i)]
由此, 我们得到递推式
•P1=x
•Pi+1=Pi-LOWBIT(Pi)
则只需要累加C[p1], C[p2], …

清晰一点就像这样

【模板】树状数组 1 洛谷P3374

裸树状数组代码：

#include<bits/stdc++.h>#define lowbit(x) (x&(-x))#define MAXN 500050using namespace std;int tree[MAXN];int n,m;inline void add(int x,int num){    while(x<=n)    {        tree[x]+=num;        x+=lowbit(x);    }}inline int search(int x){    int re=0;    while(x)    {        re+=tree[x];        x-=lowbit(x);    }    return re;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;++i)    {        int x;        scanf("%d",&x);        add(i,x);    }    for(int i=1;i<=m;++i)    {        int opt,x,y;        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);        if(opt==1)        add(x,y);        else            printf("%d\n",search(y)-search(x-1));        }    return 0;}

【模板】树状数组 2 洛谷P3368

裸树状数组+差分

#include<bits/stdc++.h>#define lowbit(x) (x&(-x))#define MAXN 500050using namespace std;int tree[MAXN];int a[MAXN];int n,m;inline void add(int x,int num){    for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)    {        tree[i]+=num;    }}inline int search(int x){    int re=0;    while(x)    {        re+=tree[x];        x-=lowbit(x);    }    return re;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;++i)    scanf("%d",&a[i]),add(i,a[i]-a[i-1]);    for(int i=1;i<=m;++i)    {        int opt,x,y,k;        scanf("%d",&opt);        if(opt==1)                {            scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);            add(y+1,-k);            add(x,k);        }        else                {            scanf("%d",&x);            printf("%d\n",search(x));        }        }    return 0;}