斐波那契数列

我们知道斐波那契数列：1 1 2 3 5 8 13 ……

这个可以通过递归或DP来实现。但是如果我们要求第10^9个斐波那契数列怎么办？

这就没办法用递归去跑了。

这里则有一个求矩阵幂方法。我们先记住公式……

[Fn+1,  Fn    = [1 1      的 n 次方

 Fn-1, Fn ]         1 0 ]

那么则可以把Fn表示成多个矩阵相乘的形式。

然后我们要做的，是求矩阵的 n 次幂：

A^n = A^(n/2) * A^(n/2) ，当n为偶数

A^n = A^((n-1)/2) * A^((n-1)/2) * A，当n为奇数

通过这种方式可以将复杂度降到 log(n)。

然后，这里涉及到两个矩阵相乘，如果两个矩阵可以相乘，比如A,B相乘。

则说明A的列等于B的行。

我们知道公式 Cij = k求和 { Aik * Bkj }

至此，完成了我们的思路，下面是代码。

class Solution {public:    struct mat {       int m[2][2];     };        int Fibonacci(int n) {        mat base;        base.m[0][0] = 1;        base.m[0][1] = 1;        base.m[1][0] = 1;        base.m[1][1] = 0;        mat res = expMatrix(base, n);        return res.m[0][1];    }        mat expMatrix(mat base, int n) {        if (0 == n) {            mat res;            res.m[0][0] = 1;            res.m[0][1] = 0;            res.m[1][0] = 0;            res.m[1][1] = 1;            return res;        }        if (1 == n) {            return base;        }        mat res = expMatrix(base, n >> 1);        res = mulMatrix(res, res);        if (1 == n % 2) {            res = mulMatrix(res, base);        }        return res;    }        mat mulMatrix(mat a, mat b) {        mat res;        memset(res.m, 0, sizeof(res.m));        for (int i = 0; i < 2; i++) {            for (int j = 0; j < 2; j++) {                for (int k = 0; k < 2; k++) {                    res.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j];                }            }        }        return res;    }};