最小生成树-Kruskal算法

Kruskal算法

最小生成树是典型的贪心法求解的问题，假如有N个节点，则最小生成树会有N-1条边，要每条边权值之和最小，只需要每次选出当前权值最小的边，如果当前边会形成环路，则这条边是无效的也就是加入进去会是冗余的，因为这条边新连通的是两个已经被别的边连通了的节点，如果不会形成环路，就加入这条边，这样就能保证最终的权值之和最小。

具体写法：

判环路一般借助并查集来实现。

而每次提取出权值最小的边，我们可以用结构体来存放边，然后事先通过排序将所有边按照权值由小到大进行排序，然后我们就可以在O(1)的时间内找到当前权值最小的边，当然也可以借助优先队列。

先定义存放边的结构体，同时重载了<运算符和定义了一个存放全部边的数组。

struct edge{   int node1;   int node2;   int value;   bool operator < (edge x){      return value<x.value;   }}Array[MaxEdgeNum];

进行排序，直接调用库函数。

sort(Array,Array+N);

利用并查集来判断是否会形成环路，这里假设存放Array数组N个元素的父亲节点或者说标志节点的数组为par[N]，Find函数用于寻找边的两个端节点所属集合的根节点或者说标志节点，join函数完成这两个节点所属的两个集合的合并和判断是否会形成环路，如果在合并之前两个节点已经同属于一个集合，这时如果再将连接这两个节点的边放入生成树的集合，则会形成回路，举个例子，某个图只有a,b,c三个节点并且相互连通，我们先进行join(a,b)，join(b,c)操作连通a,b和b,c，这时已经有一条路径连通三个节点了，如果这时在进行join(a,c)操作连通a,c的话就会形成环路，这里设定如果会产生环路的话返回true。

void init(){   mem(par);   for(int i=1;i<=N;i++){      par[i]=i;   }}int FindPar(int x){   int a=x,b;   while(a!=par[a])      a=par[a];   while(x!=par[x]){      b=par[x];      par[x]=a;      x=b;   }   return a;}bool join(int a,int b){   int x=FindPar(a);   int y=FindPar(b);   if(x!=y){      par[x]=y;      return true;   }   return false;}

挑选最小生成树的N-1条边，如果找不出足够的N-1条边，说明不存在生成树，图不连通，这里返回 -1代表无解。

long long kruskal(){   int MSTnum=0,ans=0;   init();   sort(Array,Array+EdgeNum);   for(int i=0;i<EdgeNum;i++){      if(join(Array[i].node1,Array[i].node2)){         MSTnum++;         ans+=Array[i].value;         if(MSTnum==N-1)            break;      }   }   if(MSTnum==N-1)      return ans;   else      return -1;}

如果存在有不存在生成树的情况只需要检查一下选出的边的数量，如果最终这个变量小于N-1，则图不连通，无解，并查集中也可以判断一下所有节点在最终是否都并入了一个集合，但这显然不如前一种方法。
完整代码示例：（题目：hdu-1863）

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))#define MaxN 1005#define MaxEdgeNum 2000int par[MaxN],N,EdgeNum;void init(){   mem(par);   for(int i=1;i<=N;i++){      par[i]=i;   }}int FindPar(int x){   int a=x,b;   while(a!=par[a])      a=par[a];   while(x!=par[x]){      b=par[x];      par[x]=a;      x=b;   }   return a;}bool join(int a,int b){   int x=FindPar(a);   int y=FindPar(b);   if(x!=y){      par[x]=y;      return true;   }   return false;}struct edge{   int node1;   int node2;   int value;   bool operator < (edge x){      return value<x.value;   }}Array[MaxEdgeNum];long long kruskal(){   int MSTnum=0,ans=0;   init();   sort(Array,Array+EdgeNum);   for(int i=0;i<EdgeNum;i++){      if(join(Array[i].node1,Array[i].node2)){         MSTnum++;         ans+=Array[i].value;         if(MSTnum==N-1)            break;      }   }   if(MSTnum==N-1)      return ans;   else      return -1;}int main(){   while(cin>>EdgeNum>>N&&EdgeNum){      for(int i=0;i<EdgeNum;i++){         cin>>Array[i].node1>>Array[i].node2>>Array[i].value;      }      int ans=kruskal();      if(ans==-1){         cout<<'?'<<endl;      }      else{         cout<<ans<<endl;      }   }}