BZOJ 4530 [Bjoi2014]大融合 [LCT]

题意：给n个相互独立的点，每次有两个操作：

①将x连接y

②询问经过边[x,y]的简单路径有几条

注意：题目保证图始终是森林。

题解：通过题目我们可以知道，边[x,y]的简单路径的数目是边两边点数相乘，由于涉及到连接操作，我们可以考虑用LCT维护子树的节点的数量。由于通常的LCT模板维护的是splay（辅助树）上的情况。所以我们需要记录两个值：一个是虚边连接的子树的大小（不在一个splay中的树），二是整个子树的大小。考虑到虚子树的大小只在access和link的时候才会发生变化，所以我们需要在这两个操作中进行修改：

①access的时候，当我们断掉一条[x,ch[x][1]]实边的时候，我们将sizexu[x]（虚子树大小）增加sizesum[ch[x][1]]（子树总大小）。当我们要连接一条实边的时候，我们将sizexu[x]减去sizesum[t]。

②link的时候，为了保证信息保存的正确性，我们需要多做一个操作make_root[y]然后再把x连接上去，并做sizexu[y]+=sizesum[x]。

在update的时候sizesum[x]=虚子树的大小+左实子树大小+右实子树大小+本身大小。

最后询问的时候，我们要将x与y连接到一个splay上，先make_root(x),再access(y),splay(y)，这时候sizesum[y]就是这棵树的大小，sizesum[x]就是边[x,y]一边的点数。ans=（sizesum[y]-sizesum[x]）*sizesum[x]。

AC代码：

#include<stdio.h>    #include<algorithm>    #define N 100005    using namespace std; typedef long long ll;   //struct stp{int x,y,a,b;}a[N];    //bool cmp(stp a,stp b){return a.a<b.a;}    int rev[N],ch[N][2],V[N],pre[N],fa[N],st[N],t,sizesum[N],n,sizexu[N];    //splay中数组：rev反转标记 ch树的儿子节点     //V节点value pre节点的父节点 st存节点的栈     //其他数组：fa     int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}//并查集     bool is_root(int x){return ch[pre[x]][0]!=x&&ch[pre[x]][1]!=x;}    //判断x是否为其中一颗splay的根节点     void reverse(int x)    {        rev[x]^=1;swap(ch[x][0],ch[x][1]);        rev[ch[x][0]]^=1;rev[ch[x][1]]^=1;    }    void update(int x)    {    sizesum[x]=sizexu[x]+sizesum[ch[x][0]]+sizesum[ch[x][1]]+1;}    void rotate(int x)    {        int y=pre[x],z=pre[y];        bool f=ch[y][1]==x;        if(!is_root(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;        ch[y][f]=ch[x][!f];ch[x][!f]=y;        pre[x]=z;pre[y]=x;pre[ch[y][f]]=y;        update(y);update(x);    }    void splay(int x)    {        st[t=1]=x;        for(int y=x;!is_root(y);st[++t]=y=pre[y]);        for(;t;t--)if(rev[st[t]])reverse(st[t]);        for(;!is_root(x);rotate(x))if(!is_root(pre[x]))            ch[pre[x]][0]==x^ch[pre[pre[x]]][0]==pre[x]?rotate(x):rotate(pre[x]);        update(x);    }    void access(int x){for(int t=0;x;ch[x][1]=t,t=x,x=pre[x]){if(t)update(t);splay(x);sizexu[x]+=sizesum[ch[x][1]]-sizesum[t];}}    void make_root(int x){access(x);splay(x);rev[x]^=1;}    void link(int x,int y){make_root(x);make_root(y);pre[x]=y;sizexu[y]+=sizesum[x];}//将x的父亲设为y     void cut(int x,int y){make_root(x);access(y);splay(y);pre[x]=ch[y][0]=0;}    int main(){int n,q;scanf("%d%d",&n,&q);for(int i=1;i<=n;i++)sizesum[i]=1;while(q--){char op[2];int x,y;scanf("%s%d%d",op,&x,&y);if(op[0]=='A')link(x,y);else {make_root(x);access(y);splay(y);int sum1=sizesum[y];int sum2=sizesum[x];sum1-=sum2;printf("%lld\n",(ll)sum1*sum2);}}}