贝叶斯方法

贝叶斯推断及其互联网应用

Q：已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

假设：
- 事件A -> 实际得病， 则P(A)=0.001。这就是”先验概率”，即没有做试验之前，我们预计的发病率。
- 事件B -> 检查为阳性，那么要计算的就是P(A|B)，也就是”后验概率”，即做了试验以后，对发病率的估计。

【习题1】如果误报率从5%降为1%，请问病人得病的概率会变成多少？
P(A)=0.001,P(B|A)=0.99,P(B|A¯)=0.01
P(A¯)=1−P(A)=0.999

P(A|B)=P(B|A)∗P(A)P(B)
= P(B|A)∗P(A)P(B|A)∗P(A)+P(B|A¯)∗P(A¯)
= 0.99∗0.0010.99∗0.001+0.01∗0.999
= 0.0902

【习题2】”假阴性”问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己，”假阳性”和”假阴性”，哪一个才是医学检验的主要风险？
P(A|B¯)=P(B¯|A)∗P(A)P(B¯)
= P(B¯|A)∗P(A)P(B¯|A)∗P(A)+P(B¯|A¯)∗P(A¯)
= 0.01∗0.0010.01∗0.001+0.95∗0.999
= 0.0000105367

数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法