整数划分问题

问题描述：

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不

同划分个数。 

例如：正整数6有如下11种不同的划分：

    6；

    5+1；

    4+2，4+1+1；

    3+3，3+2+1，3+1+1+1；

    2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

    1+1+1+1+1+1。

解法：

设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。

显然，当m为1时只有一种结果，因为任何数的1划分都只有一种；

            当n < m时q(n,n)的意思为用比n大的数去划分n其实结果和用n划分n一致，所以用q(n,n)表示，例如用7划分6其实本质上是用6划分6，因为7比6大；

            当n = m时，可转换为 1 + q(n,n-1)，理由是用n去划分n只有一种结果，并且借用递归的思想降低问题规模；

            当n > m > 1时，问题可变为两部分，一个是q(n,m-1)的求解【还是降低规模的应用，用下一个较小数去划分】，另一个是q(n-m,m),因为虽然第一部分是将当前规模降到下一规模，但是对于当前规模并没有进行相关处理，所以缩小n到n - m并进行递归。

求解的结果：

输入： 6   6

输出： 11

#include <iostream>using namespace std;//整数划分问题int Partition(int n,int m){    if(m == 1)    {        return 1;    }    if(n < m)    {        return Partition(n,n);    }    if(n == m)    {        return 1 + Partition(n,n-1);    }    if(n > m && m > 1)    {        return Partition(n,m-1) + Partition(n-m,m);    }}int main(){    int m,n;    cin >> n >> m;    int temp = Partition(n,m);    cout << temp << endl;    return 0;}