手打推导拉格朗日乘子算法Lagrange Multiplier

拉格朗日乘子公式我就不给了，网上有很多，主要是原理，虽然网上页有，但是不直观甚至不完全。分为几个断言，根据上一个断言继续进行下一个。

1，最优值是在梯度相等的点

z=f(x,y)是目标函数，要求z的极值。而给定一个g(x,y)=0，为约束条件。目标函数是3维的，可以认为z变量是高度，那么固定一个高度z，f（x,y）就是x，y平面的一条线，当z变化时，x、y平面的投影线会移动，移动的方向我们不管，反正其可以移动，假如没有约束的话，那么z的最大值可以是无穷大。但是有一个额外要求就是最优点不仅要在f（x,y）上，还要求在g（x,y）上。g（x,y）这条直线是固定的，你可以沿一个方向移动f（x,y），那么你就一直移动f（x,y），直到无法与g（x,y）相交时就不能满足条件了，所以那个点必然是相切的或者是达到了g（x,y）这条线的极点，你只要在脑中想想就可以想明白了。所以极值点必然发送在一个位置，这个位置要让z=f(x,y)的投影线与g（x,y）相切。

相切就导致了在此处的斜率相等。

2，最后的乘子公式由1断言如何推导出来

网上有很多推导我认为是错误或模糊的。

梯度相等是在x，y平面的梯度相等，所以是dy/dx=dy/dx。假设前面的dy/dx是目标函数的梯度，它等于-(df/dx)/(df/dy)；后面的是约束函数的梯度，一般由g(x,y)计算是:-(dg/dx)/(dg/dy)，注意这里是偏导数。然后两者相等，为-(df/dx)/(df/dy)=-(dg/dx)/(dg/dy），等式右边分子分母同时乘以一个namda，让左右两边相等即得到了拉格朗日乘子的标准公式。这是我自己推导的。