动态规划--找零钱有多少种方法

问题： 给定数组arr，arr中的所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。

分析：arr长度为N，生成行数为N，列数为aim+1的矩阵dp。dp[i][j]的含义是在使用arr[0]…arr[i]货币的情况下，组成钱数j的方法数。

1. 如果完全不用arr[i]货币，只使用arr[0]…arr[i-1]货币时，方法数为dp[i-1][j]。
2. 如果用1张arr[i]货币，剩下的钱使用arr[0.......i-1]货币组成，方法数为dp[i-1][j-1*arr[i]]。
3. 如果用2张arr[i]货币，剩下的钱使用arr[0......i-1]货币组成，方法数为dp[i-1][j-2*arr[i]]。
4. 如果用3张arr[i]货币，剩下的钱使用arr[0......i-1]货币组成，方法数为dp[i-1][j-3*arr[i]]。
5. ……......................

dp[i][j]的值即为上述所有值得累加和。

求每一个位置都需要枚举，时间复杂度为O(aim)。dp一共有N*aim个位置，所以总的时间复杂度为O(N*aim^2)

具体实现如下：

package basic_sork;//找零钱---动态规划方法public class dp_find_money_way2 {public static void main(String[] args){int[] array={1,5,2};int aim=10;System.out.print(coins(array,aim));}public static int coins(int[] arr,int aim){//申明arr.lenght,aim+1的数组int[][] dp=new int[arr.length][aim+1];for(int i=0;i<arr.length;i++){dp[i][0]=1;//第一列为1}for(int j=1;j<=aim;j++){if(j%arr[0]==0){dp[0][j]=1;//第一行中能够被arr[0]整除的数，即可以被换钱，记为1}else{dp[0][j]=0;}}for(int i=1;i<arr.length;i++){for(int j=1;j<=aim;j++){int temp=0;for(int k=0;k*arr[i]<=j;k++){temp+=dp[i-1][j-k*arr[i]];//累加用k张arr[i]货币后dp[i-1]中组成剩下钱数的方法数}dp[i][j]=temp;}}return dp[arr.length-1][aim];}}