斐波那契数列

斐波那契数列介绍

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

递归解法

long long fibonacci_recursion(unsigned int n){    if (n <= 0)        return 0;    if (1 == n)        return 1;    return fibonacci_recursion(n-1) + fibonacci_recursion(n-2); }

递归解法虽然写起来很简便，但是当n很大时，运算很慢，事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。
我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系

                  f(10)               /        \            f(9)         f(8)          /     \       /    \       f(8)     f(7)  f(7)   f(6)      /   \     /   \    f(7)  f(6)  f(6) f(5)

我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试，感受一下这样递归会慢到什么程度。

迭代解法

long long fibonacci_iteration(unsigned int n){    long long f0 = 0;    long long f1 = 1;    long long f2 = 0;    unsigned int i = 0;    if (n <= 0)        return f0;    if (1 == n)        return f1;    for(i=2; i<=n; ++i){        f2 = f1 + f0;        f0 = f1;        f1 = f2;    }    return f2;}

这里的迭代方法消除了递归中的重复的计算，迭代的时间复杂度是O(N)，最实用。

时间复杂度为O(logN)的解法

懒得写，给个链接吧，链接如下:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6ab0b9a80101axdn.html