0-1背包问题：

问题描述

给定n种物品和一个背包。物品i的重量是w（i），其价值是v（i），背包的容量为c。
问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品总价值最大？

这里主要是对《计算机算法设计与分析（第三版）》中86页后开始讨论。

设m(i,j) 为在物品i~n中，在容量为j的情况下的最大价值

i=n时，可选的物品为n~n，所以只有第n个物品可以选
此时
m(n,j) = v(n) j>=w(n)
或 0 0<=j < w(n)

此时这个画在坐标系中是这样子的：（注意这里i已经为定值n了，此时已经不是变量）

注意到这里有两个跳跃点（0，0）和（w(n),v(n)）
我们描述m(n,j)这个函数也就可以用这两个跳跃点就可以了。

当i=n-1时，
m(n-1,j) = max {m(n,j) , m(n,j-w(n-1))+v(n-1) }

于是那本书引出这个递推

m(i,j) = max {m(i+1,j) , m(i+1,j-w(i))+v(i) }

m(i,j)的值在m(i+1,j) 和 m(i+1,j-w(i))+v(i) 中最大值选择。
继续重申一遍，这里i不是变量，只有j才是变量。

这个表达式表述出通俗点是什么意思呢？
当m(i,j)等于m(i+1,j)时候，意思是加入第i件物品以供我们选择后，最大价值却跟没加这件物品一样，我们此时并没有挑这件物品
而当m(i,j)等于 m(i+1,j-w(i))+v(i) 时候，我们是先挑中第i件商品，预算中先扣掉它，然后加上剩下的容量所能达到的最大值。

也就是说，计算m(i,j)，我们会考虑这样，一种是先不选第i件物品，然后它的最大价值就跟m(i+1,j)一样。另一种是先挑下第i件物品 v(i)，然后加上剩下的最大价值m(i+1,j-w(i))。

好了，之前我们提到跳跃点，我们记m（i+1，j）的跳跃点集合为p[i+1] 。集合里面的元素表现形式为（j,m(i,j)）；
那么m(i+1,j-w(i))+v(i)与m（i+1，j）的图像有什么联系呢？

我们设m(i+1,j-w(i))+v(i)的跳跃点集合为q[i+1] 。
对一个跳跃点（s,t）属于q[i+1]，则有
t=m(i+1,s-w(i))+v(i)
t-v(i) = m(i+1,s-w(i))
所以 （s-w(i),t-v(i)）属于p[i+1]。
这里说明啥呢？其实q[n+1]点集合也是可以求出来的，q[n+1]中的元素（s,t）通过减法就是得到在p[n+1]中的元素（s-w(i),t-v(i)）。

所以
q[i+1] = p[i+1] ⊕ (w(i),v(i))={ (j+w(i),m(i,j)+v(i)) | (j,m(i,j)) 属于p[i+1] }

此时q[n+1] 和p[i+1]都求出来了。
那么如何定义q[n]呢？

我们知道q[n]的跳跃点肯定在这两个的并集中，是不是照单全收呢？
仔细思考一下，这里是求其中的max，其实这两个的函数图像层叠在一起的时候，我们可能在某个区间会去掉其中一个，因为去掉的那个不够max。
这也就是书上说的去掉受控点的意思。

p[i] = p[i+1] U q[i+1] 并且去掉受控点。