I-没人中奖概率--错排公式

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！

我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

Output

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

Sample Input

12

Sample Output

50.00%

这个题实质就是求解数学数列里面的错排问题:这里补充一下错排的知识：

错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D_n。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

例如有{\displaystyle n}封写好了的信，收件人不同，胡乱放入{\displaystyle n}个写了地址的信封中，寄出，求没有一个收件人收到他所应接收的信的概率。当{\displaystyle n=4}，在4! = 24个排列之中，只有9个是错排：

BADC, BCDA, BDAC,

CADB, CDAB, CDBA,

DABC, DCAB, DCBA,

所以有关概率为9/24 = 37.5%

推导：

显然D₁=0，D₂=1。当n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑第n位的情况。

• 当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为D_n-2。
• 当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为D_n-1。

所以当n排在第k位时共有D_n-2+D_n-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：

D_n=(n-1)(D_n-1+D_n-2) 

在上面我们得到D_n=(n-1)(D_n-1+D_n-2) 从这个公式中我们可以推出D_n的通项公式，方法如下：

为书写方便，记D_n = n!M_n，则M₁ = 0, M₂ = {\displaystyle {\frac {1}{2}}}

当n大于等于3时，由D_n = (n-1)(D_n-1 + D_n-2)，即{\displaystyle n!M_{n}=(n-1)(n-1)!M_{n-1}+(n-1)(n-2)!M_{n-2}=n!M_{n-1}-(n-1)!M_{n-1}+(n-1)!M_{n-2}}。 所以，{\displaystyle nM_{n}-nM_{n-1}=-M_{n-1}+M_{n-2}}。

于是有 {\displaystyle M_{n}-M_{n-1}=-{\frac {1}{n}}(M_{n-1}-M_{n-2})=...=(-{\frac {1}{n}})(-{\frac {1}{n-1}})...(-{\frac {1}{3}})(M_{2}-M_{1})=(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}.}

所以

{\displaystyle {

Mn−Mn−1Mn−1−Mn−2⋮M2−M1=(−1)n1n!=(−1)(n−1)1(n−1)!=⋮=(−1)212!

}}

将上面式子分边累加，得{\displaystyle M_{n}=(-1)^{2}{\frac {1}{2!}}+(-1)^{3}{\frac {1}{3!}}...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}.}

因此，我们得到错排公式{\displaystyle D_{n}=n!M_{n}=n!({\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}).}

http://blog.csdn.net/Ber_Bai/article/details/77112975

import java.util.*;public class Main {    static Scanner in = new Scanner(System.in);    static  double[] a=new double[25]; static void init(){  a[1]=0;      a[2]=1;      for (int i = 3; i <=20; i++) {      a[i]=(i-1)*(a[i-2]+a[i-1]);    }    }public static void main(String[] args) { init(); int k=in.nextInt(),m; double sum=1; String p;while(k-->0){          int n=in.nextInt();             sum=1;          for (int i =1; i <=n; i++) {sum*=i; }         p=String.format("%.2f",a[n]*100/sum);         System.out.println(p+"%");  }}}

注意输出格式的要求：