KMP模式匹配算法

本文将讲解串匹配中的KMP模式匹配算法。

模式匹配

首先，讲解什么是模式匹配。一个子串在主串中的定位操作通常称做串的模式匹配。在串匹配中，一般将主串称为目标串，将子串称为模式串。本文将统一用S表示目标串，T表示模式串，将从目标串S中查找模式串T的过程称为模式匹配。

朴素的模式匹配算法

朴素的模式匹配算法是一种最简单暴力的模式匹配算法。该算法从目标串S的第一个字符开始和模式串T的第一个字符进行比较，如果相等则进一步比较二者的后继字符，否则从目标串的第二个字符开始再重新与模式串T的第一个字符进行比较，以此类推，直到模式串T与目标串S中的一个子串相等，称为匹配成功，返回T在S中的位置；或者S中不存在值与T相等的子串，称匹配失败，返回-1。

简单来说，就是对主串的每一个字符作为子串开头，与要匹配的字符串进行匹配。对主串做大循环，每个字符开头做T的长度的小循环，直到匹配成功或者全部遍历完成为止。

下面是朴素模式匹配算法的Java实现

 /**   * 朴素模式匹配算法   * 返回子串T在主串S中第pos个字符之后的位置。若不存在，则返回-1   */   public int Brute_Force(String S, String T, int pos){        int i = pos;  //i用于主串S中当前位置下标        int j = 0;    //j用于子串T中当前位置下标值        while(i < S.length() && j < T.length()){  //若i小于S长度且j小于T的长度            if(S.charAt(i) == T.charAt(j)){ //两字母相等则继续                i++;                j++;            }else{//如果不相等,则主串S中当前位置下标回溯到原先位置的下一位                i = i-j+1;                j = 0;     //子串当前位置退回到首位            }        }        if(j >= T.length())            return i-T.length();        else            return -1;    }

KMP模式匹配算法

朴素的模式匹配算法虽然比较简单，也比较容易理解。但是它的效率是十分低下的，因为需要逐个遍历。因此，D.E.Knuth, J.H.Morris, V.R.Pratt三位前辈共同研究出了KMP模式匹配算法, 朴素模式匹配算法之所以低效，是因为它需要不断的重复遍历主串，而KMP算法则可以大大避免重复遍历的情况。

KMP算法，是不需要对目标串S进行回溯的模式匹配算法。我们发现这种匹配算法的关键在于当出现失配情况时，应能够决定将模式串T中的哪一个字符与目标串S的失配字符进行比较。所以呢，那三位前辈就通过研究发现，使用模式串T中的哪一个字符进行比较，仅仅依赖于模式串T本身，与目标串S无关。

这里就要引出KMP算法的关键所在next数组，next数组的作用就是当出现失配情况S[i] != T[j]时，next[j]就指示使用T中的以next[j]为下标的字符与S[i]进行比较（注意在KMP算法中，i是永远不会进行回溯的）。还需要说明的是当next[j] = -1时，就表示T中的任何字符都不与S[i]进行比较，下一轮比较从T[0]与S[i+1]开始进行。由此可见KMP算法在进行模式匹配之前需要先求出关于模式串T各个位置上的next函数值。即next[j]，j = 0,1,2,3,…n-1。

下面将举例说明如何求解next数组

子串T = “ababaaaba”

1) 当j = 0时，next[0] = -1;

2) 当j = 1时，j由0到j-1就只有字符”a”，所以next[1]=1;

3) 当j = 2时，j由0到j-1的串是”ab”，显然”a”和”b”不相等，所以next[2] = 1;

4) 当j = 3时，j由0到j-1的串是”aba”，前缀字符”a”与后缀”a”相等，所以next[3]=2；

5) 当j = 4时，j由0到j-1的串是”abab”，前缀字符”ab”与后缀”ab”相等，所以next[4]=3；

6) 当j = 5时，j由0到j-1的串是”ababa”，前缀字符”aba”与后缀”aba”相等，所以next[5]=4；

7) 当j = 6时，j由0到j-1的串是”ababaa”，前缀字符”ab”与后缀”aa”并不相等，只有”a”相等，所以next[6]=2；

8) 当j = 7时，j由0到j-1的串是”ababaaa”，只有”a”相等，所以next[7]=2；

9) 当j = 8时，j由0到j-1的串是”ababaab”，前缀字符”ab”与后缀”ab”相等，所以next[8]=3；

因此，next = {-1,1,1,2,3,4,2,2,3}。

下面则是KMP模式匹配算法的Java实现

 /**   * 通过计算返回子串T的next数组   */    public int[] get_next(String T){        int i,j;        i = 0;        j = -1;        int[] next = new int[T.length()];        next[0] = -1;        while(i < T.length()-1){            if(j == -1 || T.charAt(i) == T.charAt(j)){                i++;                j++;                next[i] = j;            }else{                j = next[j];            }        }        return next;    }    public int KMP(String S, String T, int pos) {        int i = pos;    //i用于主串S当前位置下标值        int j = 0;      //j用于子串T中当前位置下标值        //得到next数组        int[] next = get_next(T);        while (i < S.length() && j < T.length()) {            if (j == -1 || S.charAt(i) == T.charAt(j)) {                i++;                j++;            } else {                //根据next数组的指示j进行回溯，而i永远不会回溯                j = next[j];            }        }        if (j == T.length()) {            return i - j;        } else {            return -1;        }    }

KMP算法的核心就是计算子串T的每一个位置之间的字符串的前缀和后缀公共部分的最大长度(不包括字符串本身，否则最大长度始终是字符串本身)。然后，就可以利用该最大公共长度快速和主串S比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时，则可以根据最大公共长度将子串T向前移动(已匹配长度-最大公共长度)位，再继续比较下一个位置。这样也就是说，不用将主串S回溯，并且子串T也不用挨个遍历，既然前缀和后缀部分相等，则当出现不同字符时，只需从后缀部分的下一位接着匹配即可。这样就可以省略很多遍历次数，大大提高了算法效率，时间复杂度也由O(n*m)降为O(n+m)。