[HDU 3507] Print Article

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    这题应该可以算是斜率优化dp的入门题了，为了巩固斜率优化dp的方法，我特此写一篇题解表明我是真懂了。

Description

    给定n和m以及一个含n个元素的序列，要求依次取完所有的数，每次取一段连续的数的花费是，这一段中所有数之和的平方加上m，求取完所有数的最小花费。

Solution

    这道题显然是道dp题，而且O(n2)的dp还是蛮好想的，定义dp[i]表示取到第i个数时的最小花费，那么dp转移方程也就很明显了：

dp[i]=Mini−1j=0{dp[j]+(sum[i]−sum[j])2+m}

    然而O(n2)肯定要炸，n可是有500000呐，那怎么办呢，这里就要用到斜率优化的方法将O(n2)转化为O(n)。

    设k<j<i，假如j比k优的话，那么就是满足

dp[k]+(sum[i]−sum[k])2+m≥dp[j]+(sum[i]−sum[j])2

将平方展开并移项可以得到

(dp[j]+sum[j]2)−(dp[k]+sum[k]2)2∗(sum[j]−sum[k])≤sum[i]

    也就是说，只要满足了这个条件，j就一定比k优，又因为sum[i]是递增的，所以这个不等式在后来也一定成立， 因此k可以直接淘汰了。假如我们令xj=2∗sum[j]，yj=dp[j]+sum[j]2，xk=2∗sum[k]，yk=dp[k]+sum[k]2，那么不等式左边就可以表示为yj−ykxj−xk，这就变成了斜率，我们不妨定义f(k,j)表示上述表达式，那么我们可以得到两个推论（在k<j<i的情况下）：

    1.当f(k,j)≤sum[i]就说明j比k优，反之k比j优。因此当f(k,j)≤sum[i]时我们可以直接淘汰k。

        2.假如f(k,j)<f(j,i)的话，我们可以淘汰掉j。因为当f(j,i)≤sum[i]时，i比j更优，所以可以淘汰j；当f(j,i)>sum[i]时，f(k,j)>sum[i]，说明k比j更优。

    我们在dp的过程中维护一个单调队列，实时维护最优值即可。

Code

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<iostream>#define N 500005#define ll long longusing namespace std;template <class T>inline void Rd(T &res){    char c;res=0;int k=1;    while(c=getchar(),c<48&&c!='-');    if(c=='-'){k=-1;c='0';}    do{        res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);    }while(c=getchar(),c>=48);    res*=k;}template <class T>inline void Pt(T res){    if(res<0){        putchar('-');        res=-res;    }    if(res>=10)Pt(res/10);    putchar(res%10+48);}int n,m;int A[N];int dp[N];int x[N],y[N];int Q[N];int getup(int k,int j){    return y[j]-y[k];}int getdown(int k,int j){    return x[j]-x[k];}int calc(int j,int i){    return dp[j]+(A[i]-A[j])*(A[i]-A[j])+m;}int main(){    while(scanf("%d",&n)!=EOF){        Rd(m);        for(int i=1;i<=n;i++){            Rd(A[i]);            A[i]+=A[i-1];        }        int L=0,R=0;        Q[R++]=0;        dp[0]=0;        for(int i=1;i<=n;i++){            while(L+1<R&&getup(Q[L],Q[L+1])<=getdown(Q[L],Q[L+1])*A[i])L++;            dp[i]=calc(Q[L],i);            x[i]=2*A[i];            y[i]=dp[i]+A[i]*A[i];            while(L+1<R&&getup(Q[R-1],i)*getdown(Q[R-2],Q[R-1])<=getup(Q[R-2],Q[R-1])*getdown(Q[R-1],i))R--;            Q[R++]=i;        }        Pt(dp[n]);        putchar('\n');    }    return 0;}