数论模板总结

1.离散对数

ax≡b(modp)那么x≡loga（b)(modp)
那么现在我们就来求解这个x.
朴素baby step giant step要求p必须为质数.
整体的复杂度为O(n√)).

//Hash + 扩展欧几里得 +拆分思想 /* 求解模方程a^x=b(mod n)，n为素数。     模板题。     时间复杂度O(sqrt(n)*logn)    */ #include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <queue>#include <set>#include <map>#include <string>#include <math.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>using namespace std;//baby_step giant_step// a^x = b (mod n) n为素数，a,b < n// 求解上式 0<=x < n的解#define MOD 76543int hs[MOD],head[MOD],next[MOD],id[MOD],top;//Hash void insert(int x,int y){    int k = x%MOD;    hs[top] = x, id[top] = y, next[top] = head[k], head[k] = top++;}int find(int x){    int k = x%MOD;    for(int i = head[k]; i != -1; i = next[i])        if(hs[i] == x)            return id[i];    return -1;}//baby step giant stepint BSGS(int a,int b,int n){    memset(head,-1,sizeof(head));    top = 1;    if(b == 1)return 0;    int m = sqrt(n*1.0), j;    long long x = 1, p = 1;    for(int i = 0; i < m; ++i, p = p*a%n)insert(p*b%n,i);    for(long long i = m; ;i += m)    {        if( (j = find(x = x*p%n)) != -1 )return i-j;        if(i > n)break;    }    return -1;}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    int a,b,n;    // B ^ L = N (mod P)     while(scanf("%d%d%d",&n,&a,&b) == 3)// P  B N      {        int ans = BSGS(a,b,n);        if(ans == -1)printf("no solution\n");        else printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

当p不为素数时,扩展bsgs. 当然也可以解决p为素数的

#include<iostream>#include<map>#include<cmath>#include <cstdio>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn = 65535;struct hash{    int a,b,next;}Hash[maxn << 1];int flg[maxn + 66];int top,idx;//hash值插入void ins(int a,int b){    int k = b & maxn;    if(flg[k] != idx){        flg[k] = idx;        Hash[k].next = -1;        Hash[k].a = a;        Hash[k].b = b;        return ;    }    while(Hash[k].next != -1){        if(Hash[k].b == b) return ;        k = Hash[k].next;    }    Hash[k].next = ++ top;    Hash[top].next = -1;    Hash[top].a = a;    Hash[top].b = b;}//hash值查找int find(int b){    int k = b & maxn;    if(flg[k] != idx) return -1;    while(k != -1){        if(Hash[k].b == b) return Hash[k].a;        k = Hash[k].next;    }    return -1;}int gcd(int a,int b){    return b?gcd(b,a%b):a;}//扩展欧几里得 int ext_gcd(int a,int b,int& x,int& y){    int t,ret;    if (!b){x=1,y=0;return a;}    ret=ext_gcd(b,a%b,x,y);    t=x,x=y,y=t-a/b*y;    return ret;}// 求逆元  int Inval(int a,int b,int n){    int x,y,e;    ext_gcd(a,n,x,y);    e=(LL)x*b%n;    return e<0?e+n:e;}int pow_mod(LL a,int b,int c){    LL ret=1%c;    a%=c;    while(b){        if(b&1)ret=ret*a%c;        a=a*a%c;        b>>=1;    }    return ret;}//求解a^x = b (mod n) a, n互质 int BabyStep(int A,int B,int C){    top = maxn; ++ idx;    LL buf=1%C,D=buf,K;    int i,d=0,tmp;    for(i=0;i<=100;buf=buf*A%C,++i)        if(buf==B)return i;    while((tmp=gcd(A,C))!=1){        if(B%tmp)return -1;        ++d;        C/=tmp;        B/=tmp;        D=D*A/tmp%C;    }    int M=(int)ceil(sqrt(C+0.5));    for(buf=1%C,i=0;i<=M;buf=buf*A%C,++i)        ins(i,buf);    for(i=0,K=pow_mod((LL)A,M,C);i<=M;D=D*K%C,++i){        tmp=Inval((int)D,B,C);        int w ;        if(tmp>=0&&(w = find(tmp)) != -1) return i*M+w+d;    }    return -1;}int main(){    int A,B,C;    // K ^ D == N (mod P)    while(scanf("%d%d%d",&A,&C,&B)!=EOF){// K P N          if(B>C){            puts("Orz,I can’t find D!");            continue;        }        int tmp=BabyStep(A,B,C);        if(tmp<0)            puts("Orz,I can’t find D!");        else printf("%d\n",tmp);    }    return 0;}

2.原根

给定一个数n,若存在一个与n互素的a,满足 ai(0<i<=φ(n)
在%n意义下的结果两两不同,则称a为n的一个原根.

原根的性质:
1.一般原根都比较小。
2.一个数n如果有原根，那么有  φ(φ(n))个
3.一个数n的全体原根乘积模n余1
4.一个数n的全体原根总和模n余μ(n-1)(莫比乌斯函数)
5.p为素数，当然φ(p)=p-1,因此就有φ(p-1)个原根
6. 所有的奇素数都有原根,原根素数为 φ(p-1)
哪些数有原根:
n=1,2,4,p^r,2p^r其中p是奇素数,r是任意正整数

// 一般原根都很小  /* 求出n中所有的原根,若没有则直接输出-1*/ const int N = 1000000;  bool f[N];  //计算欧拉筛复杂度为 根号n int phi(int x){      if(f[x])    return x-1;      int ans = x;      for(int i=2; i<=x; i++){          if(x%i==0){              while(x%i==0)   x/=i;              ans = ans - ans/i;          }      }      if(x>1) ans = ans - ans/x;      return ans;  }  int gcd(int a, int b){      swap(a,b);      int c = a%b;      while(c){          a=b; b=c; c=a%b;      }      return b;  }  int quick_mod(int x, int p, int mod){      long long s = 1;      long long a = x;      while(p){          if(p&1) s = (s*a)%mod;          a = a*a%mod;          p>>=1;      }      return (int)s;  }  vector<int> V;  vector<int> G;  void cal(int x){      G.clear();      if(f[x])    return;      else{          for(int i=2; i*i<=x; i++){              if(x%i==0){                  G.push_back(i);                  if(i*i!=x)  G.push_back(x/i);              }          }      }  }  //单次检验的复杂度为  log^2 n bool exist(int n){      if(n%2==0)  n/=2;      if(f[n])    return 1;      for(int i=3; i*i<=n; i+=2){          if(n%i==0){              while(n%i==0)   n/=i;              return n==1;          }      }      return 0;  }  void solve(int n){      if(n==2){          puts("1");          return;      }      if(n==4){          puts("3");          return;      }      if(!exist(n)){          puts("-1");          return;      }      int p = phi(n);      cal(p);      int x = -1;      for(int i=2; i<n; i++){          bool flag = 1;          if(quick_mod(i, p, n)!=1)   continue;          for(int j=0; j<G.size(); j++){              if(quick_mod(i, G[j], n)==1){                  flag = 0;                  break;              }          }          if(flag){              V.resize(1);              V[0] = x = i;              break;          }      }      if(x==-1){          puts("-1");          return;      }      for(int i=2; i<p; i++){          if(gcd(i, p)==1)    V.push_back(quick_mod(x, i, n));      }      sort(V.begin(), V.end());      vector<int>::iterator it=unique(V.begin(), V.end());      V.erase(it, V.end());      for(int i=0; i<V.size(); i++){          if(i)   putchar(' ');          printf("%d", V[i]);      }      puts("");  }  int main(){      memset(f, 1, sizeof(f));      f[0] = f[1] = 0;      for(int i=2; i<N; i++){          if(f[i]){              for(int j=i<<1; j<N; j+=i)  f[j]=0;          }      }      int n;      while(~scanf("%d", &n)) solve(n);      return 0;  }