字符串函数

【NOIP2012模拟8.7】字符串函数 (Standard IO)
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Description

两个等长的由大写英文字母构成的字符串a和b，从a中选择连续子串x，从b中选出连续子串y。

定义函数f(x,y)为满足条件xi=yi(1<=i<=|x|)的i的个数，计算f(x,y)的数学期望。(|x|=|y|)

Input

第一行输入n(1<=n<=2*10^5)，表示a和b的长度

第二行输入字符串a

第三行输入字符串b

Output

输出一个实数表示f(x,y)的期望，如果你的答案与正确答案相差不超过10^-6则认为是正确的。(保留6位)

Sample Input

2
AB
BA

Sample Output

0.400000

Data Constraint

Hint

考虑第一个样例，x,y的选择有5种情况分别是(“A”,”B”),(“A”,”A”),(“B”,”B”),(“B”,”A”),(“AB”,”BA”)其中，第2对和第3对所对应的f(x,y)等于1，其他都是0，由于选择每一对的概率都是1/5，所以f(x,y)的期望为1/5*0+1/5*1+1/5*1+1/5*0+1/5*0=2/5=0.4

正解

对于10%的数据，可以O（N^3).枚举两字符串的开头，枚举字符串的长度。O（N^3).
对于60%的数据，可以O（N^2).我们可以用数学的方法，在找到两个相同的字符后直接算出答案。将两个字符所在的位置对齐。讲两个字符串分别分出两个部分。一个左边一个右边。先算出两个字符串的左边的最小值，再算出两个字符串的右边的最小值。右边的界限是一定在右边的最小值中的。左边的界限是一定在左边的最小值中。所以方法为左边的数*右边的数。（包含当前数）。这样就能完成O（N^2)的算法了。很好实现。
对于100%的数据，可以O（N*26),最大的复杂度在算前缀和中。我们发现在第一个字符串中找到一个字符，这个字符将整个第二个字符串分成两个部分。在第二个部分的字符中，左边的数一定要大于当前找到的字符的位置的左边的数；右边的数一定要小于当前找到的字符的位置的右边的数。所以，在第二部分的字符中，左边的数乘上右边的所有与其相同的字符的位置的右边的数的和。所以右边的所有与其相同的字符的位置的右边的数的和可以用一个前缀和来预处理。如果在当前找到在字符的位置的右边，那么第二个字符串的第一部分的左边的数一定比当前的字符的位置的左边要小，右边的数反之。因此，也可以像处理第一部分的字符一样，用前缀和预处理出来。那么AC就非常容易得到了。

代码

var        n,p,l,r,ans,min,s,o,total:int64;        h:array['A'..'Z'] of longint;        f,f2:array['A'..'Z',0..200000] of longint;        i,j:longint;        ch:char;        st1,st2:ansistring;begin        readln(n);        readln(st1);        readln(st2);        for i:=1 to length(st2) do          begin            for ch:='A' to 'Z' do              begin                if st2[i]=ch then                  begin                    f[st2[i],i]:=f[st2[i],i-1]+n-i+1;                  end                else                  begin                    f[ch,i]:=f[ch,i-1];                  end;              end;          end;        for i:=1 to length(st2) do          begin            for ch:='A' to 'Z' do              begin                if st2[i]=ch then                  begin                    f2[st2[i],i]:=f2[st2[i],i-1]+i;                  end                else                  begin                    f2[ch,i]:=f2[ch,i-1];                  end;              end;          end;        for i:=1 to n do          begin            s:=s+i*i;          end;        for i:=1 to length(st1) do          begin            total:=total+(f[st1[i],n]-f[st1[i],i-1])*(i);            total:=total+(f2[st1[i],i-1])*(n-i+1);          end;        writeln(total/s:0:6);end.