除法取模与逆元--hdu3970 Harmonious Set

。。。虽然不知道是怎么推出来的，答案是

a(n) = 1/n * sum_{d divides n and d is odd}（2^(n/d) * phi(d)） phi : 欧拉函数

答案对1e9 + 7取模。

1.除法取模与逆元

(a / b) % mod = (a * 1 / b) % mod

设(a * 1 / b) % mod = (a * bs) % mod，bs是1 / b对于%mod运算的逆元。

所以(1 / b == bs) % mod 

(bs * b == 1) %mod

bs * b + k * mod == 1

x * b + y * mod == 1可用扩展gcd求。得出的x即为bs，b对于%mod的逆元。

当b和mod不互质，即d不等于1时，y对于%mod的逆元不存在

2.范围是1e9不能打表求欧拉函数，应该直接求。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cmath>

using namespacestd;

const int mod =1000000007;

typedef longlong ll;

int phi(int x)

{

    int res = x;

    for (int i =2; i <=sqrt(x); i ++) {

        if(x % i ==0) {

            res = res / i * (i - 1);

            while (x % i ==0) x /= i;//保证i是质数

        }

    }

    if(x >1) res = res / x * (x -1);//最后剩下一个质数

    return res;

}

ll quick_pow(int a,int b)

{

    ll res =1,k =1ll * a;

    while (b) {

        if(b &1) res = (res %mod * k %mod) %mod;

        k = (k % mod * k %mod) %mod;

        b >>= 1;

    }

    return res;

}

void ext_gcd(int a,int b,ll &d,ll &x,ll &y)

{

    if(b ==0){

        x = 1;y =0;d = a;

        return;

    }

    ext_gcd(b,a % b,d,y,x);

    y -= x * (a / b);

}

ll getbs(int n)//求逆元

{

    ll bs,y,d;

    ext_gcd(n,mod, d, bs, y);

    return bs;

}

void solve(int n)

{

    ll sum =0;

    for (int i =1; i <=sqrt(n); i ++) {

        if(n % i ==0)

        {

            if(i %2) sum = (sum +quick_pow(2, n / i) *phi(i)) %mod;

            if(i != n / i && (n / i) %2) sum = (sum +quick_pow(2, i) *phi(n / i)) %mod;

        }

    }

    printf("%lld\n",(mod + (sum %mod * getbs(n) %mod) %mod )%mod);

}

int main()

{

    int C;

    cin >> C;

    int n;

    while (C --) {

        scanf("%d",&n);

        solve(n);

    }

    return0;

}