数据结构之树和二叉树

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树的定义

树的逻辑表示：树形表示法、文氏图表示法、凹入表示法、括号表示法。
结点：表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支。
结点的度：结点拥有的子树树；树的度：一棵树中最大的结点度数
叶子结点：度为0的结点；分支结点：度不为0的结点；孩子：结点子树的根称为该结点的孩子；双亲：孩子结点的上层结点叫该结点的双亲；兄弟：同一双亲的孩子。
深度：树中结点的最大层次数。
有序树：树中各结点的子树从左至右是有次序的，不能互换。否则称为无序树。

树的性质

树中的结点数等于所有结点的度数加1。
度为m的树中第i层上至多有mi-1 个结点（i>=1）。

二叉树的概念

满二叉树：定义——一棵深度为k且具有2k-1个结点的二叉树。特点——每一层上的结点数都是最大结点数。
完全二叉树：定义——深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为完全二叉树。

二叉树的性质

二叉树的第i层上至多有2i-1(i>=1)个结点。
深度为K的二叉树至多有2k-1个结点。
对任何一棵二叉树T，如果其叶子数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
一个有n个结点的完全二叉树，编号最大的分支结点的编号是
一个有n个结点的完全二叉树，n0的个数是不小于n/2的最小整数。

二叉树的存储结构

用一组连续的存储单元存储二叉树的数据元素。在存储之前对二叉树的所有结点安排一个适当的序列，使得结点在这个序列中的相互位置能反应出结点之间的逻辑关系。
特点：结点间关系蕴含在其存储位置中；浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树。

二叉树的链式存储结构

用一个链表来存储一棵二叉树，二叉树中每一个结点用链表中的一个链结点来存储。

遍历二叉树

遍历方法：
利用遍历结果确定二叉树：

先序遍历算法：

//先序遍历递归算法
void preorder(Tree t){
if(t==null)
return;
visit(t);
preorder(t.left());
preorder(t.right());
}

//先序遍历非递归算法
void PreOrderUnrec(Bitree t)
{
//创建栈来存放树的结点
    SqStack s;
    StackInit(s);
    p=t;
    while (p!=null || !StackEmpty(s))
    {
        while (p!=null)             //遍历左子树
        {
            visite(p->data);
            push(s,p);
            p=p->lchild;       
        }//endwhile
        
        if (!StackEmpty(s))         //通过下一次循环中的内嵌while实现右子树遍历
        {
            p=pop(s);
            p=p->rchild;        
        }//endif
                
    }//endwhile 
    
}//PreOrderUnrec

中序遍历算法：

//中序遍历递归算法
void inorder(Tree t){
if(t==null)
return;
inorder(t.left());
visit(t);
inorder(t.right());
}

void InOrderUnrec(Bitree t)
{
//创建栈来存放树的结点
    SqStack s;
    StackInit(s);
    p=t;
    while (p!=null || !StackEmpty(s))
    {
        while (p!=null)             //遍历左子树
        {
            push(s,p);
            p=p->lchild;       
        }//endwhile
        
        if (!StackEmpty(s))         //通过下一次循环中的内嵌while实现右子树遍历
        {
            p=pop(s);
visite(p->data);        //访问根节点
            p=p->rchild;        
        }//endif
                
    }//endwhile 
    
}//InOrderUnrec

后序遍历算法：

后序遍历递归算法
void inorder(Tree t){
if(t==null)
return;
inorder(t.left());
inorder(t.right());
visit(t);
}

//后序遍历非递归算法
对于任一结点P，将其入栈，然后沿其左子树一直往下搜索，直到搜索到没有左孩子的结点，此时该结点出现在栈顶，但是此时不能将其出栈并访问，因此其右孩子还为被访问。所以接下来按照相同的规则对其右子树进行相同的处理，当访问完其右孩子时，该结点又出现在栈顶，此时可以将其出栈并访问。这样就保证了正确的访问顺序。可以看出，在这个过程中，每个结点都两次出现在栈顶，只有在第二次出现在栈顶时，才能访问它。因此需要多设置一个变量标识该结点是否是第一次出现在栈顶。
void postOrder2(BinTree *root)    //非递归后序遍历
{
    stack<BTNode*> s;
    BinTree *p=root;
    BTNode *temp;
    while(p!=NULL||!s.empty())
    {
        while(p!=NULL)              //沿左子树一直往下搜索，直至出现没有左子树的结点 
        {
            BTNode *btn=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
            btn->btnode=p;
            btn->isFirst=true;
            s.push(btn);
            p=p->lchild;
        }
        if(!s.empty())
        {
            temp=s.top();
            s.pop();
            if(temp->isFirst==true)     //表示是第一次出现在栈顶 
             {
                temp->isFirst=false;
                s.push(temp);
                p=temp->btnode->rchild;    
            }
            else                        //第二次出现在栈顶 
             {
                cout<<temp->btnode->data<<" ";
                p=NULL;
            }
        }
    }    
}