BZOJ1096: [ZJOI2007]仓库建设

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。
　　由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。
你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;
请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10
Sample Output

32
HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5) * 3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)5+(9-5) 3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题目传送门
嗯，慢慢写博客。
比较浅显的斜率优化题。
注解代码里有，还有推公式过程。
证明决策单调性实在懒得写了

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;ll f[1110000],c[1110000],a[1110000],p[1110000];ll s[1110000],x[1110000];/*    设f[i]表示在i建厂，往下运最少要花多少钱     f[i]=min(f[i],c[i]+   p[j]*(a[i]-a[j])  + ... +   p[i]*(a[i]-a[i])  );    n必定建厂    设s[i]=s[i-1]+p[i]; x[i]=x[i-1]+a[i]*p[i];    设j1<j2<i     f[i]=c[i]+  p[j]*(a[i]-a[j])  + ... +   p[i]*(a[i]-a[i])  )        =p[j]*a[i]-p[j]*a[j]+p[j+1]*a[i]-p[j+1]*a[j+1]+...+a[i]*p[i]-p[i]*a[i]   + c[i];        =a[i]*(p[j]+...+p[i])-p[j]*a[j]-a[j+1]*p[j+1]-...-p[i]*a[i]        =a[i]*(s[i]-s[j])-b[i]+b[j];    f[j2]+c[i]+a[i]*(s[i]-s[j2])-b[i]+b[j2]<=f[j1]+c[i]+a[i]*(s[i]-s[j1])-b[i]+b[j1]    f[j2]+a[i]*s[i]-a[i]*s[j2]-b[i]+b[j2]<=f[j1]+a[i]*s[i]-a[i]*s[j1]-b[i]+b[j1]    f[j2]-f[j1]+b[j2]-b[j1]<=a[i]*(s[j2]-s[j1]);    (f[j2]-f[j1]+b[j2]-b[j1])/(s[j2]-s[j1])<=a[i];*/int n;int head,tail;ll list[1110000];double slope(ll j1,ll j2){    return (f[j2]-f[j1]+x[j2]-x[j1])/(s[j2]-s[j1]);}int main(){    scanf("%d",&n);s[0]=0;    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld%lld",&a[i],&p[i],&c[i]);    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+p[i],x[i]=x[i-1]+a[i]*p[i];    list[1]=0;head=1;tail=1;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        while(head<tail&&slope(list[head],list[head+1])<a[i])head++;        int j=list[head];        f[i]=f[j]+c[i]+(s[i]-s[j])*a[i]-x[i]+x[j];        while(head<tail&&slope(list[tail],i)<slope(list[tail],list[tail-1]))tail--;        list[++tail]=i;    }    printf("%lld\n",f[n]);    return 0;}

by_lmy