辛普森积分（自适应辛普森公式求积分）

自适应辛普森公式求积分

第一回接触辛普森积分，至于这个辛普森是干嘛的呢，在这里就有必要好好地讲一讲了。

来源：辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。

应用：立体几何中用来求拟柱体体积的公式。

这里就不详细说辛普森公式了，有需要的朋友可以看这里：https://baike.baidu.com/item/%E8%BE%9B%E6%99%AE%E6%A3%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F/9255085?fr=aladdin

接下来我们好好的说说自适应辛普森公式求积分，自适应辛普森公式求积分是很重要的一个知识点，弄懂了自适应辛普森公式求积分就能明白辛普森积分是干嘛的了，

下面的内容是重点！！！：

假设我们求以下积分：

比较特殊的情况，就是可以推导出来最后的形式。但是比较一般的情况是，我们只能大致得到一个XY坐标系里的曲线，我们求的就是曲线和X轴所围成的面积。

因此我们有自适应辛普森公式，他会根据实际情况来自动的调整精度。

它的大致过程就是，给定一个要求达到的精度eps，算法就会根据实际情况递归的划分区间。容易近似的地方少划分，不容易近似的地方多划分几份。

具体来讲，我们在以下情况下直接返回结果,否则递归划分区间：

具体参考博客：http://blog.csdn.net/frosero/article/details/45799135

下面举个例题：hdu-1724

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1724

题目大意：题目就是求两条线所夹的椭圆的面积。这是个标准的椭圆，其中心在原点。我好像看到了题目连椭圆面积公式都给了，然而并没有任何用，直接上辛普森！

根据椭圆的对称性，我们求x轴上方的面积然后乘以2就是答案。根据椭圆方程x2a2+y2b2=1，构造函数y=。。。其中y>0，然后对此函数进行自适应辛普森积分就可以了。

写完程序过了样例后立马交，TLE，1000ms。结果发现是Eps取的太小了，取了1e-10，随着递归下去，Eps不断除以2，导致不断递归划分，做的次数很多就超时了。这题只要求保留3位小数，所以精度没有太大问题，将Eps改为1e-5立马就AC了，109ms。

ac代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>#include <set>#include <map>#include <vector>#include <queue>#define ri(n) scanf("%d",&n)#define oi(n) printf("%d\n",n)#define rl(n) scanf("%lld",&n)#define ol(n) printf("%lld\n",n)#define rep(i,l,r) for(i=l;i<=r;i++)#define rep1(i,l,r) for(i=l;i<r;i++)using namespace std;typedef long long ll;const int inf=0x3f3f3f3f;const double eps=1e-5;//这里的eps是整个辛普森应用的关键，至于取多大，得依题目而定double a,b,l,r;double f(double x)//这里的f函数是自己根据题目推导出来的，主要还是x有关y的函数{    double y=b*sqrt(1.0-(x*x)/(a*a));    return y;}double simpson(double a,double b)//这里是辛普森公式{    double c=(a+b)/2.0;    return (f(a)+f(b)+4.0*f(c))*(b-a)/6.0;}double ars(double a,double b,double eps)//这里就是递归求辛普森最重要的一段函数了，{    double c=(a+b)/2.0;    double mid=simpson(a,b),l=simpson(a,c),r=simpson(c,b);    if(fabs(l+r-mid)<=15*eps)        return l+r+(l+r-mid)/15.0;    return ars(a,c,eps/2.0)+ars(c,b,eps/2.0);}int main(){    int t;    ri(t);    while(t--)    {        scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&l,&r);        printf("%.3lf\n",2.0*ars(l,r,eps));//递归求辛普森    }    return 0;}