无穷小pk极限论，你站在哪一边？

无穷小pk极限论，你站在哪一边？

2013年6月19日，老翁发表短文，题为“无穷小微积分复辟（Comeback）四十年”，现在重新发表，一字不改。

袁萌   9月12日

 

附：无穷小微积分复辟（Comeback）四十年

在此文标题中，我们使用“复辟”这个字眼，而不用“复活”一词的用意是很明显的，意思是，无穷小微积分又恢复了当年的荣耀，夺回了自己的“皇冠”。

遥想当年，莱布尼兹发明了”无穷小“，将其用于函数局部性态的分析研究，在计算过程完成之后，又将非零无穷小抛弃，让人有点儿“摸不着头脑”，甚至受到严厉的批评，最终导致“无穷小”颜面扫地，退出了历史舞台，（ε，δ）极限论乘虚而入。

因为无穷小的概念对人们的诱惑力实在太大，在传统（ε，δ）极限论里面，数学家发明了一种无穷小的“替代物”，把极限为零的函数称之为”无穷小“。但是，这种人工制造的函数无穷小本质上不是”数“，是数的”异类“，缺乏直观性。1960年，A.Robinson借助模型论（Model Theory）发明了”非标准分析“，恢复了无穷小的荣誉，道理虽然讲通了，但是，理论过于艰深，让人望而生畏也。

在上世纪70年代，波兰知名数理逻辑学家Alfred Tarsky（1901-1983）的高徒J. Keisler（1936至今）在美国芝加哥地区的几所高校实验教授无穷小微积分（基于A.Robinson的思想），取得了十分肯定的教学效果。这次教学实验，为什么会取得成功？原因是，J. Keisler发明了一种教学工具：无穷小显微镜与无穷大望远镜，让学生可以看见无穷小的”区域“中所发生的事情。

1973年，在芝加哥教学实验取得成功的基础上，1976年，J. Keisler出版了无穷小微积分教材，作为大学低年级新生的微积分教科参考书。至今，时间已经过去了四十年。该教材的第一章，开宗明义，直截了当，为莱布尼兹当年的”思想“做了全面有效的数学辩护（而非一般性的哲学空论），特别是第一章的第5、第6两节，写得十分精辟，读后回味无穷。

为了让读者”一饱眼福“，6月18日，我让文员薛Lily开始转录这两节，不日即可与大家见面。在此，我想说明一点：学习无穷小微积分必须掌握基础英语，具有一定的英语阅读能力，否则，不能透彻把握原著的精神与数学的严谨”美“。有人不信数学是美丽的，那是因为某些数学教员在教学中把数学抹黑了。只要看了J. Keisler这本无穷小微积分教材，你一定会认同无穷小微积分必将“复辟”（复出）一说。

当前，我们正处在微积分“拐弯”的跑道上，不愿意“拐弯”者必然就要出局落伍。现在的情况是，内行看门道，外行看热闹。对无穷小微积分有兴趣者，希望跟紧队伍，不要掉队。我们起步走得虽然很慢，但是，越走越深入，掉队之后，恐怕就很难跟上了。无穷小微积分到底灵验不灵验，这需要依靠事实来说话。

问题：现在，无穷小方法与（ε，δ）极限进行‘pk”大战，你愿意站在哪一边？

袁萌  6月19日