最短路径算法（上）——迪杰斯特拉（Dijikstra）算法

概述

单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

最短路径的最优子结构性质描述为：如果P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P’(k,s)，那么P’(i,j)=P(i,k)+P’(k,s)+P(s,j)

无权图的最短路径算法

对于无权图来说，可以把它当作每条边都为1的有权图。故无权图的最短路径算法如下：
1）初始化距离数组dist和路径数组path全为-1，同时定义一个队列queue，初始化队列为空。
2）把源点vertex入队并更新dist[vertex]=0
3）当队列不空是一直循环，利用cur_vertex保存出队元素，遍历cur_vertex的每个邻接点i，若dist[i] =-1，那么将其入队，更新dist[i] = dist[cur_vertex]+1,path[i] = cur_vertex。
算法如下：

//无权图的Dijikstravoid Unweighted(int vertex){    queue<int> queue;       //初始化队列    queue.push(vertex);     //初始结点入队    int cur_vertex;         //当前结点     this->dist[vertex] = 0; //初始结点的距离为0     while(!queue.empty()){        cur_vertex = queue.front(); //队头结点出队         queue.pop();        //遍历cur_vertex的每个邻接点         for(int i = 1  ; i < this->Nv+1 ; i++){            if((this->G[cur_vertex][i] == 1)&& (this->dist[i] == -1)){            //当前结点的距离是cur_vertex的距离加1                 this->dist[i] = this->dist[cur_vertex]+1;            //把当前结点的上一个结点设为cur_vertex;                this->path[i] = cur_vertex;                 queue.push(i);             }        }    }}

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Dijikstra算法

Dijikstra算法主要是针对有权图的最短路径问题提出的，且具体问题中不能出现权值为负的边，即负值圈问题，如下图所示：

对于Dijikstra算法的理解，首先得从最短路径的最优子结构说起。（这部分引用海子的博客园的Dijkstra算法（单源最短路径）一文的说法）

最短路径的最优子结构性质
该性质描述为：如果P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P(k,s)，那么P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)

//有权图的Dijikstra(遍历整个数组寻找最小路径顶点)bool Dijikstra(int vertex){    //根据初始结点初始化距离数组与路径数组     for(int i = 0 ; i < this->Nv+1 ; i++){        //在构造函数里dist已经全部初始化为MAX        //G存在边时为权重，没有边时为MAX         this->dist[i] = this->G[vertex][i];        if(this->dist[i] < MAX){            this->path[i] = vertex;        }    }    this->dist[vertex] = 0;     //初始结点的距离为０    this->collected[vertex] = 1;    //初始结点标记为已收录     while(1){        //V是未被收录定点中dist最小者         int V = this->FindMinVertex();         if(V == -1){//未找到这样的V则跳出循环             break;        }         this->collected[V] = 1;//标记为已经被收录         //遍历图中每个顶点         for(int w = 1 ; w < this->Nv+1 ; w++){            //若w是V的邻接点且未被收录             if(this->collected[w] == 0 && this->G[V][w] < MAX){                if(this->G[V][w] < 0){//存在负边时                     return false;   //结束算法                 }                //若收录V使得dist[w]变小                 if(this->dist[V] + this->G[V][w] < this->dist[w]){                    //更新dist[w]                     this->dist[w] = this->dist[V] = this->G[V][w];                     this->path[w] = V;//更新路径                 }             }         }     }    return true;}

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例子

对于无权图的最小路径我们基于如下的图模型：

全部代码：

#include <iostream>#include <cstring>#include <queue>#include <stack>using namespace std;class Graph{    private:        int** G;                //邻接矩阵         int* dist;              //距离数组        int* path;              //路径数组         int Nv;                 //顶点数        int Ne;                 //边数     public:        //构造函数         Graph(int nv , int ne){            this->Nv = nv;            this->Ne = ne;            this->G = new int*[nv+1];            this->dist = new int[nv+1];            this->path = new int[nv+1];            memset(this->dist,-1,sizeof(this->dist[0])*(nv+1));            memset(this->path,-1,sizeof(this->path[0])*(nv+1));            for(int i = 0 ; i < nv+1 ; i++){                G[i] = new int[nv+1];                memset(G[i],0,sizeof(G[i][0])*(nv+1));            }            cout<<"请输入边："<<endl;            for(int i = 0 ; i < ne ; i++){                int a,b;                cin>>a>>b;                this->G[a][b] = 1;                this->G[b][a] = 1;            }        }        //无权图的Dijikstra        void Unweighted(int vertex){            queue<int> queue;       //初始化队列            queue.push(vertex);     //初始结点入队            int cur_vertex;         //当前结点             this->dist[vertex] = 0;     //初始结点的距离为0             while(!queue.empty()){                cur_vertex = queue.front(); //队头结点出队                 queue.pop();                //遍历cur_vertex的每个邻接点                 for(int i = 1  ; i < this->Nv+1 ; i++){                    if((this->G[cur_vertex][i] == 1)&& (this->dist[i] == -1)){                        this->dist[i] = this->dist[cur_vertex]+1;//当前结点的距离是cur_vertex的距离加1                         this->path[i] = cur_vertex; //把当前结点的上一个结点设为cur_vertex;                        queue.push(i);                     }                }            }        }        //打印无权图迪杰斯特拉路径        void Print_Unweighted(int vertex){            for(int i = 1 ; i < this->Nv+1 ; i++){                stack<int> stack;                stack.push(i);                cout<<vertex<<"到"<<i<<"的最短路径为：";                int j = i;                while(this->path[j] != -1){//路径上的元素一次入栈                     j = this->path[j];                    stack.push(j);                  }                //打印路径                 cout<<stack.top();                stack.pop();                 while(!stack.empty()){                    cout<<" -> "<<stack.top();                    stack.pop();                }                cout<<endl;            }        }};int main() {    cout<<"请输入顶点数与边数："<<endl;     int nv ,ne;    cin>>nv>>ne;    Graph graph(nv,ne);    cout<<"请输入一个起始点："<<endl;    int vertex;    cin>>vertex;    graph.Unweighted(vertex);    graph.Print_Unweighted(vertex);     return 0;}

截图：

对于有权图的最短路径算法（Dijikstra）我们基于如下图模型：

全部代码：

#include <iostream>#include <cstring>#include <stack>#include <stdio.h>using namespace std;const int MAX = 65535;class Graph{    private:        int** G;                //邻接矩阵         int* dist;              //距离数组        int* path;              //路径数组        int* collected;         //收录数组         int Nv;                 //顶点数        int Ne;                 //边数     public:        //构造函数         Graph(int nv , int ne){            this->Nv = nv;            this->Ne = ne;            this->G = new int*[nv+1];            this->dist = new int[nv+1];            this->path = new int[nv+1];            this->collected = new int[nv+1];             for(int i = 0 ; i < this->Nv+1 ; i++){                this->dist[i] = MAX;            }            memset(this->path,-1,sizeof(this->path[0])*(nv+1));            memset(this->collected,0,sizeof(this->collected[0])*(nv+1));            for(int i = 0 ; i < nv+1 ; i++){                this->G[i] = new int[nv+1];                for(int j = 0 ; j < nv+1 ; j++){                    this->G[i][j] = MAX;                 }            }            cout<<"请输入边与权重："<<endl;            for(int i = 0 ; i < ne ; i++){                int v1,v2,weight;                cin>>v1>>v2>>weight;                this->G[v1][v2] = weight;                this->G[v2][v1] = weight;            }        }        //遍历邻接点寻找最小距离顶点        int FindMinVertex(){            int MinDist = MAX;  //初始化最小距离            int v,MinV = 0;            for(v = 1 ; v < this->Nv+1 ; v++){                if(this->collected[v] == 0 && this->dist[v] < MinDist){                    //v没有被收录且dist[v]更小                    MinDist = dist[v];                    MinV = v;                 }            }            if(MinDist < MAX){//找到最小的dist                 return MinV;    //返回对应顶点的下标             }else{                return -1;  //若这样的顶点不存在则返回-1             }         }         //有权图的Dijikstra(遍历整个数组寻找最小路径顶点)        bool Dijikstra(int vertex){            //根据初始结点初始化距离数组与路径数组             for(int i = 0 ; i < this->Nv+1 ; i++){                //在构造函数里dist已经全部初始化为MAX                //G存在边时为权重，没有边时为MAX                 this->dist[i] = this->G[vertex][i];                if(this->dist[i] < MAX){                    this->path[i] = vertex;                }            }            this->dist[vertex] = 0;     //初始结点的距离为０            this->collected[vertex] = 1;    //初始结点标记为已收录             while(1){                //V是未被收录定点中dist最小者                 int V = this->FindMinVertex();                 if(V == -1){//未找到这样的V则跳出循环                     break;                }                 this->collected[V] = 1;//标记为已经被收录                 //遍历图中每个顶点                 for(int w = 1 ; w < this->Nv+1 ; w++){                    //若w是V的邻接点且未被收录                     if(this->collected[w] == 0 && this->G[V][w] < MAX){                        if(this->G[V][w] < 0){//存在负边时                             return false;   //结束算法                         }                        //若收录V使得dist[w]变小                         if(this->dist[V] + this->G[V][w] < this->dist[w]){                            //更新dist[w]                             this->dist[w] = this->dist[V] = this->G[V][w];                             this->path[w] = V;//更新路径                         }                     }                 }             }            return true;        }        //打印迪杰斯特拉路径        void Print_Dijikstra(int vertex){            for(int i = 1 ; i < this->Nv+1 ; i++){                if(i == vertex){                    continue;                }                 stack<int> stack;                stack.push(i);                cout<<vertex<<"到"<<i<<"的最短路径为：";                int j = i;                while(this->path[j] != -1){//路径上的元素一次入栈                     j = this->path[j];                    stack.push(j);                  }                //打印路径                 cout<<stack.top();                stack.pop();                 while(!stack.empty()){                    cout<<" -> "<<stack.top();                    stack.pop();                }                cout<<endl;            }        }};int main() {    cout<<"请输入顶点数与边数："<<endl;     int nv ,ne;    cin>>nv>>ne;    Graph graph(nv,ne);    cout<<"请输入一个起始点："<<endl;    int vertex;    cin>>vertex;    if(graph.Dijikstra(vertex)){        graph.Print_Dijikstra(vertex);      }    return 0;}

截图：