coupled quasi-harmonic bases

1) section 2, 公式WΦ=DΦΛ推导

LΦ=ΦΛ
D−1WΦ=ΦΛ
WΦ=DΦΛ

2) 图1说明, 用Laplacian eigenbases求得的functional correspondence在isometric shapes下, matrix C 近似对角, 但在non-isometric shapes下, 矩阵不似对角, 而用coupled bases求得的functional correspondence 在non-isometric shapes也近似对角矩阵

3)图2说明, 用马的低频 和 骆驼的高频用pose transfer, 注意这里ai,bithe three-dimensional vectors of the Fourier coefficients corresponding to each embedding coordinate, 是个三维向量, 每个分量是每维的坐标值.
左图是用laplacian eigenbasis 而右图用coupled basis.

4) 图3说明, eigenfunction 和 coupled basis function在non-isometric shapes情况下表现的区别

5) (8)式前两项是diagonalization of the two Laplacians. 第三项是fourier coupling.

6) 第(10)式中注意 k是joint eigenvector的数量, k′是前k′eigenvector. the first k joint eigenvectors as a linear combination of k′ eigenvectors.

7) 当μ→∞时可以(13)式的方法去求.

8) 第4部分就是求(10)式中各部分的梯度, 用于优化, 然后关于A,B的初始化

9) 图4, 下面矩阵就是A,B

10) 图5, 说明对于匹配有误时 joint diagonalization的robust

11) 图6,7 coupled bases 对于简化模型以及简化后的点云的 robust

12) (19)式推导

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢fT1fT2⋮fTk⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥Φ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢gT1gT2⋮gTk⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥Ψ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢c11c22⋱ckk⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

13)图9, 是用 MSER方法构造 的25个fi, gi, 然后求得的coupled bases用图8表示出来了.
14) 图10是算function correspondence matrix C, 左边是eigenbases, 右边是coupled based的结果.

15) (20),(21)式没细看, 如果需要请细看[RCG08], 图12显示同时编辑的结果

16) 图11, 用来作shape similarity的结果, 将两个shapes的functional correspondences matrix 在coupled bases下算出来, 对角程序越高越相似, 也就是图中方块越黑