基础堆排序及其优化

  我们将上一节中实现的堆放在Heap.h文件中，之前将的归并排序、快速排序分别放在merge.h和quick.h中，这一节实现堆排序，并将堆排序和归并排序、快速排序进行时间性能上的比较（堆排序也是时间复杂度为O(nlogn)的算法），整个C++代码如下：

  Heap.h文件：

#include <iostream>#include <cassert>#include <algorithm>#include <cstdlib>#include <ctime>using namespace std;template<typename Item>class MaxHeap{private:    Item *data;    int count;    int capacity;    void shiftUp(int k)    {        //凡是涉及到数组下标的，都要限定它不出界        /*while(k > 1 && data[k] > data[k / 2])        {            swap(data[k], data[k / 2]);            k /= 2;        }*/        //优化：用赋值取代交换        Item item = data[k];        while( k>1 && data[k/2] < item )        {            data[k] = data[k/2];            k /= 2;        }        data[k] = item;    }    void shiftDown(int k)    {        //当k有孩子的情况下开始shiftDown操作        /*while( 2*k <= count )        {            int j = 2*k;  //j就是要和data[k]交换的元素的位置下标            //判断是否有右孩子            if( j+1 <= count && data[j+1] > data[j] )            {                j = j + 1;            }            if(data[k] >= data[j])            {                break;            }            swap(data[k], data[j]);            k = j;        }*/        //优化：用赋值取代交换        Item item = data[k];        while( 2*k <= count )        {            int j = 2*k;            if(j + 1 <= count && data[j + 1] > data[j])            {                j = j + 1;            }            if(data[j] <= item)            {                break;            }            data[k] = data[j];            k = j;        }        data[k] = item;    }public:    MaxHeap(int capacity)    {        data = new Item[capacity + 1];  //从1号单元开始存放        count = 0;        this->capacity = capacity;    }    ~MaxHeap()    {        delete[] data;    }    //返回堆现在的大小    int size() const    {        return count;    }    //判断堆是否为空堆    bool isEmpty() const    {        return count == 0;    }    //向堆中插入一个元素    void insert(Item item)    {        //判断count+1是否出界        assert(count + 1 <= capacity);        data[count + 1] = item;        count++;        //从count位置处开始向上调整堆        shiftUp(count);  //这个函数不需要被用户调用，所以设为私有    }    //取出堆中的一个元素（只能取出根结点）    Item extractMax()    {        //首先判断堆是否为空        assert(count > 0);        Item ret = data[1];        data[1] = data[count];        count--;        shiftDown(1);        return ret;    }    //打印堆中内容    void printData() const    {        for(int i = 1; i <= count; i++)        {            cout << data[i] << " ";        }        cout << endl;    }};

  merge.h文件

template<typename T>void insertionSort(T arr[], int l, int r)  //将arr[l...r]区间内的元素进行插入排序{    for(int i = l + 1; i <= r; i++)    {        T e = arr[i];        int j;        for(j = i; j > l && arr[j - 1] > e; j--)        {            arr[j] = arr[j - 1];        }        arr[j] = e;    }}//自顶向下的归并排序算法template<typename T>void __merge(T arr[], int l, int mid, int r)  //[l...r]（前闭后闭）{    T aux[r - l + 1];    for(int i = l; i <= r; i++)  //i是aux的下标    {        aux[i - l] = arr[i];    }    //i、j是arr中的下标,k是arr中的下标    //i-l、j-l是aux中的下标    int i = l, j = mid + 1, k = l;    while(i <= mid && j <= r)    {        if(aux[i - l] < aux[j - l])        {            arr[k++] = aux[i - l];            i++;        }        else        {            arr[k++] = aux[j - l];            j++;        }    }    //出界条件    while(i <= mid)    {        arr[k++] = aux[i - l];        i++;    }    while(j <= r)    {        arr[k++] = aux[j - l];        j++;    }}template<typename T>void __mergeSort(T arr[], int l, int r)  //一定要注意我设定的是左闭右闭[l...r]（r是最后一个元素）{    if(r - l <= 15)  //即所剩元素数量为16时    {        insertionSort(arr, l, r);        return;  //返回上一层    }    else    {        int mid = (l + r) / 2;        //对左半部分arr[l...mid]进行归并排序        __mergeSort(arr, l, mid);        //再对右半部分arr[mid + 1...r]进行归并排序        __mergeSort(arr, mid + 1, r);        //然后将排好序的左右两部分归并到一起        if(arr[mid] > arr[mid + 1])  //优化        {            __merge(arr, l, mid, r);        }    }}template<typename T>void mergeSort(T arr[], int n){    //传递一个数组，调用归并排序算法归并arr[0...n-1]    __mergeSort(arr, 0, n - 1);}

  

  quick.h文件

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <ctime>#include "merge.h"using namespace std;//3路快速排序template<typename T>void __quickSort3Ways(T arr[], int l, int r){    if(r - l <= 15)  //序列中仅有16个元素时    {        insertionSort(arr, l, r);        return;    }    else    {        //因为需要返回lt和gt两个下标，所以这里不适用函数patition来进行划分        //patition操作        swap(arr[l], arr[rand() % (r - l + 1) + l]);        T v = arr[l];        int lt = l;  //保证<v的部分arr[l+1...lt]初始为空        int gt = r + 1;  //保证>v的部分arr[gt...r]初始为空        int i = l + 1; //保证==v的部分arr[lt+1...i)初始为空        while(i < gt)        {            if(arr[i] < v)            {                swap(arr[lt + 1], arr[i]);                i++;                lt++;            }            else if(arr[i] == v)            {                i++;            }            else            {                swap(arr[i], arr[gt - 1]);                gt--;            }        }        //此时i == gt        swap(arr[l], arr[lt]);        //对arr[l...lt-1]进行递归        __quickSort3Ways(arr, l, lt - 1);        //对arr[gt...r]进行递归        __quickSort3Ways(arr, gt, r);    }}template<typename T>void quickSort3Ways(T arr[], int n){    srand(time(0));    __quickSort3Ways(arr, 0, n - 1);}

  SortTestHelper.h文件（包含辅助函数）

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <ctime>  //clock()、CLOCKS_PER_SEC#include <cassert>  //包含函数assert()using namespace std;namespace SortTestHelper{    //辅助函数 - 随机产生一个数组    int* generateRandomArray(int n, int RangeL, int RangeR)  //返回数组首地址    {        //判断RangeL是否<=RangeR        assert(RangeL <= RangeR);  //参数为表达式，表达式为真时返回true，否则打印错误信息        int *arr = new int[n];        srand(time(0));        for(int i = 0; i < n ; i++)        {            arr[i] = rand() % (RangeR - RangeL + 1) + RangeL;  //使得产生的随机数在RangeL和RangeR之间        }        return arr;    }    //辅助函数 - 产生一个近乎有序的随机数组    int* generateNearlyOrderedArray(int n, int swapTime)    {        int *arr = new int[n];        for(int i = 0; i < n; i++)        {            arr[i] = i;  //先生成一个完全有序的数组        }        //然后交换几组元素，使之变成无序但近乎有序的数组        srand(time(0));        for(int j = 0; j < swapTime; j++)        {            //随机生成一个x位置和y位置            int posx = rand() % n;            int posy = rand() % n;            //交换x和y处的元素            swap(arr[posx], arr[posy]);        }        return arr;    }    //辅助数组 - 产生一个完全有序数组    int* generateTotallyOrderedArray(int n)    {        int *arr = new int[n];        for(int i = 0; i < n; i++)        {            arr[i] = i;        }        return arr;    }    //辅助函数 - 打印数组    template<typename T>    void printArray(T arr[], int n)    {        for(int i = 0; i < n; i++)        {            cout << arr[i] << " ";        }        cout << endl;    }    //辅助函数 - 判断数组是否有序（升序）    template<typename T>    bool isSorted(T arr[], int n)    {        for(int i = 0; i < n - 1; i++)        {            if(arr[i] > arr[i + 1])            {                return false;            }        }        return true;    }    //辅助函数 - 测试算法的时间    template<typename T>    void testSort(string sortname, void(*sort)(T[], int), T arr[], int n)  //arr[]和n是函数指针需要的参数    {        clock_t starttime = clock();        sort(arr, n);  //调用函数sort()        clock_t endtime = clock();        //判断排序是否成功        assert(isSorted(arr, n));  //若是数组无序，则assert会自动调用abort()退出程序，不会执行下面的语句        cout << sortname << " needs " << double(endtime - starttime) / CLOCKS_PER_SEC << "s." << endl;    }    //辅助函数 - 拷贝数组    int* copyIntArray(int a[], int n)    {        int *arr = new int[n];        //使用C++函数copy()        copy(a, a + n, arr);        return arr;    }}

  main.cpp文件

#include <iostream>#include "Heap.h"#include "merge.h"#include "quick.h"#include "SortTestHelper.h"using namespace std;template<typename T>void HeapSort(T arr[], int n){    MaxHeap<T> maxheap = MaxHeap<T>(n);    for(int i = 0; i < n; i++)    {        maxheap.insert(arr[i]);    }    //从小到大排序    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)    {        arr[i] = maxheap.extractMax();    }}int main(){    int n = 500000;    //测试 - 随机序列    int *a = SortTestHelper::generateRandomArray(n, 0, n);    int *a2 = SortTestHelper::copyIntArray(a, n);    int *a3 = SortTestHelper::copyIntArray(a, n);    SortTestHelper::testSort("mergeSort", mergeSort, a, n);    SortTestHelper::testSort("quickSort3Ways", quickSort3Ways, a2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort", HeapSort, a3, n);    delete[] a;    delete[] a2;    delete[] a3;    //测试 - 近乎有序序列    int swaptime = 100;    int *b = SortTestHelper::generateNearlyOrderedArray(n, swaptime);    int *b2 = SortTestHelper::copyIntArray(b, n);    int *b3 = SortTestHelper::copyIntArray(b, n);    SortTestHelper::testSort("mergeSort", mergeSort, b, n);    SortTestHelper::testSort("quickSort3Ways", quickSort3Ways, b2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort", HeapSort, b3, n);    delete[] b;    delete[] b2;    delete[] b3;    //测试 - 重复键值序列    int *c = SortTestHelper::generateRandomArray(n, 0, 10);    int *c2 = SortTestHelper::copyIntArray(c, n);    int *c3 = SortTestHelper::copyIntArray(c, n);    SortTestHelper::testSort("mergeSort", mergeSort, c, n);    SortTestHelper::testSort("quickSort3Ways", quickSort3Ways, c2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort", HeapSort, c3, n);    delete[] c;    delete[] c2;    delete[] c3;    return 0;}

  测试结果如下：

  可以看出，三种排序算法的时间性能都很理想（三者都是时间复杂度为O(nlogn)的高级排序算法）。

  

  不过对于堆排序，还可以对其进行优化，使其时间性能有所改善。

  在上述将数组元素构建成堆的过程中，是将数组元素一个一个的插入到堆中，然后不断的shiftUp使之成为一个新的堆：

    MaxHeap<T> maxheap = MaxHeap<T>(n);    for(int i = 0; i < n; i++)    {        maxheap.insert(arr[i]);    }

  实际上还有一种将数组元素构建成堆的方法，产生一个数组以后，可以将其写成完全二叉树的样子：

  而这棵完全二叉树的所有叶子结点都可以看成是一个个最大堆。然后从第一个非叶子结点 count / 2 （这里就是索引5的位置）开始，执行shiftDown的操作（此处data[5] < data[10]，所以交换两者，是这两者构成的子树形成一个堆），然后对索引为4的元素进行shiftDown的操作，依次类推，直到对根结点作shiftDown的操作完毕后，整棵完全二叉树就形成一个堆。  

  此时，堆的声明中需要重新定义一个构造函数，参数为数组arr[]和数组大小n，然后将该数组赋值给data[]，然后在该构造函数内将data[]调整为最大堆，代码如下：

  Heap.h文件中重新定义一个构造函数MaxHeap(Item arr[], int n)：

    MaxHeap(Item arr[], int n)    {        count = n;        capacity = n;        data = new Item[n + 1];        for(int i = 1; i <= n; i++)        {            data[i] = arr[i - 1];        }                //将传入的数组整合成堆的样子        for(int i = count / 2; i >= 1; i--)        {            shiftDown(i);        }    }

  此时在main.cpp中重新定义一个HeapSort2算法，而将之前的HeapSort算法改为HeapSort1，然后测试两者算法的时间性能，完整的main.cpp文件如下：

#include <iostream>#include "Heap.h"#include "merge.h"#include "quick.h"#include "SortTestHelper.h"using namespace std;template<typename T>void HeapSort1(T arr[], int n){    MaxHeap<T> maxheap = MaxHeap<T>(n);    for(int i = 0; i < n; i++)    {        maxheap.insert(arr[i]);    }    //从小到大排序    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)    {        arr[i] = maxheap.extractMax();    }}template<typename T>void HeapSort2(T arr[], int n){    MaxHeap<T> maxheap = MaxHeap<T>(arr, n);    //从小到大排序    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)    {        arr[i] = maxheap.extractMax();    }}int main(){    int n = 500000;    //测试 - 随机序列    int *a = SortTestHelper::generateRandomArray(n, 0, n);    int *a2 = SortTestHelper::copyIntArray(a, n);    int *a3 = SortTestHelper::copyIntArray(a, n);    int *a4 = SortTestHelper::copyIntArray(a, n);    SortTestHelper::testSort("mergeSort", mergeSort, a, n);    SortTestHelper::testSort("quickSort3Ways", quickSort3Ways, a2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort1", HeapSort1, a3, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort2", HeapSort2, a4, n);    cout << endl;    delete[] a;    delete[] a2;    delete[] a3;    delete[] a4;    //测试 - 近乎有序序列    int swaptime = 100;    int *b = SortTestHelper::generateNearlyOrderedArray(n, swaptime);    int *b2 = SortTestHelper::copyIntArray(b, n);    int *b3 = SortTestHelper::copyIntArray(b, n);    int *b4 = SortTestHelper::copyIntArray(b, n);    SortTestHelper::testSort("mergeSort", mergeSort, b, n);    SortTestHelper::testSort("quickSort3Ways", quickSort3Ways, b2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort1", HeapSort1, b3, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort2", HeapSort2, b4, n);    cout << endl;    delete[] b;    delete[] b2;    delete[] b3;    delete[] b4;    //测试 - 重复键值序列    int *c = SortTestHelper::generateRandomArray(n, 0, 10);    int *c2 = SortTestHelper::copyIntArray(c, n);    int *c3 = SortTestHelper::copyIntArray(c, n);    int *c4 = SortTestHelper::copyIntArray(c, n);    SortTestHelper::testSort("mergeSort", mergeSort, c, n);    SortTestHelper::testSort("quickSort3Ways", quickSort3Ways, c2, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort1", HeapSort1, c3, n);    SortTestHelper::testSort("HeapSort2", HeapSort2, c4, n);    cout << endl;    delete[] c;    delete[] c2;    delete[] c3;    delete[] c4;    return 0;}

  测试结果如下：

  可见不同的建堆方式带来的时间性能是不同的，HeapSort2中的建堆方式（称为Heapify）总是比HeapSort1中的快，但是无论是HeapSort1还是HeapSort2，它们的时间性能在不同的情况下都是不如归并排序和快速排序的，正是因为如此，所以在系统级别实现的排序中，是很少使用堆排序的。堆这种数据结构更多地使用于对于动态数据的维护上面。

  那么为什么上述两种建堆的方式的时间性能不同呢？这里给出一个结论（数学证明略）：将n个元素逐一地插入到一个空堆中，算法的时间复杂度为O(nlogn)；而将一个数组heapify的过程，其时间复杂度为O(n)。所以HeapSort2的时间性能比HeapSort1要好。简单地讲，在Heapify的过程中直接对所有的叶子结点不作任何操作，肯定是比一个一个插入空堆要快的。

  

  在这一节中，实现的堆排序算法，其空间复杂度为O(n)，而实际上我们可以不适用任何辅助空间，直接原地对数组进行堆排序，这些内容将在下一节对堆排序的优化中讲到。