matalb等笔记

20170722MATLAB符号计算

所谓符号计算是指：解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式、数学定理，通过推理演绎，力求获得解析结果。

2.1 符号对象和符号表达式

数学符号和方程的基本组成是：数字、参量、变量；运算符号；数学函数。

2.1.1 基本符号对象和运算符

1. 生成符号对象的基本规则：

（1）任何符号对象都必须借助专门的命令sym、syms、symfun定义。

（2）任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性，即是任何包含符号对象的表达式、方程也一定是符号对象。

2. 精准符号数字和符号常数

符号数字定义：sym(Num) 采用精准数字类型创建精准符号数字

sc=sym(Num) 采用精准数字类型创建精准符号常数sc

sym(‘Num’) 采用有理分数字符串也可创建精准的符号数字

sc=sym(‘Num’) 采用有理分数字符串也可创建精准符号常数sc

3. 基本符号变量

符号变量：

    para=sym(‘para’) 定义单个复数域符号变量para

    para=sym(‘para’,’Flag’) 定义单个Flag 指定域符号变量para

    syms para 定义单个复数域符号变量para

    syms para Flag 定义单个Flag指定域符号变量para

    syms para1 para2 …paraN 定义多个复数域符号变量para1 para2 … paraN

    syms para1 para2 … paraN 定义多个Flag 指定域符号变量para1 para2 … paraN

4. 自由符号变量

    symvar（expression）列出表达式中所有基本符号变量

    symvar（expression，n）列出表达式中n个认定的自由变量

5. 符号对象识别

    class（var）给出变量var的数据结构（double，sym等）

    isa（var,’Obj’）若变量var是Objective-C代表的类别，给出1，表示‘真’

    whos 给出所有MATLAB内存变量的属性

6. 对符号变量的限定性假设

    assume（assumption）清空后由assumption定义的新假设

    assume（expr，set）清空后进行‘符号表达式expr属于集合set’的新假设

    assumeAlso（assumption）继续追加由assumption定义的新假设

    assumeAlso（expr，set）继续追加由‘符号表达式expr属于集合set’的新假设

    a=sym（‘a’，res）创建带res限制性假设的符号变量a

    syms a res 创建带res限制性假设的符号变量a

7. 清楚变量和撤销假设

    clear x 清除MATLAB内存中的x变量

    syms x clear 撤销MuPAD内存中对变量x的任何假设，而恢复为‘复数’变量。

    sym（‘x’，‘clear’）功能同上

    assumption（x）显示符号变量x的限定性假设

    assumptions 显示MuPAD内存中已经带限定性假设的全部符号变量

    reset（symengine）重启MuPAD引擎，清空MuPAD内存中所有内容

8. 符号数字转换为双精度数字

    Nd=double(Num_sym) 把符号数字Num_sym转换为双精度数字Nd

9. 符号数字的任意精度表达形式

    digits 显示当前环境下十进制符号数字的有效位数

    digits（n）把十进制符号数字有效位数设定为n

    xs=vap(x) 据表达式x得到digits指定精度下的符号数字xs

    xs=vap(x,n) 据表达式x得到n位有效数字xs

10. 符号表达式的基本操作

    collect（合并同类项）expand（对指定项进行展开）factor（进行因式分解）horner（转换为嵌套形式）

numden（提取分子分母）simplify（恒等式简化）pretty（习惯方式显示）coeffs（获取符号多项式系数）

例如：simplify（EXPR）对EXPR运用多种方法进行一轮化简

simplify（EXPR，Name，Value）在指定选项下对EXPR进行简化，其中Name是选项字符串，Value是选项的值。

11.公子式简化表达

    RS=subexpr（S）从S中自动提取公子式sigma，并把采用sigma重写的S赋给RS

    RS=subexpr（S,’w’）从S中自动提取公子式，记为w，并把采用w重写的S赋给RS

    [RS,w]=subexpr(S,’w’) 该调用格式的效果与上式相同

12. 通用置换命令

RES=subs（ES，old，new） 用new置换ES中的old后产生符号结果

13. 极限和导数的符号计算

    limit(f,v,a) 求极限 

    limit(f,v,a,’right’) 求右极限

    limit（f,v,a,’left’）求左极限

    dfdvn=diff(f,v,n) 求 

    fjac=jacobian(f,n) 求多元向量函数非f(v)的jacobian矩阵

    r=taylor(g) 把g()在自决定量的0点处展开为5阶泰勒级数

    r=taylor(g,v,a,Name,Value) 把g(v)在v=a处展开为幂级数 

14.符号积分

    intf=int（f,v） 给出f对指定变量v的（不带积分常数的）不定积分

    intf=int(f,v,a,b) 给出f对指定变量v的定积分

15. 求解符号微分方程

    S=dsolve(‘eq1,eq2,…,eqn’,’cond1,cond2,…,condn’,’v’)

    S=dsolve(‘eq1’,’eq2’,…,’eqn’,’cond1’,’cond2’,…,’condn’,’v’)

16.Fourier变换及其反变换

    FW=fourier(ft,t,w) 求“时域”函数ft的Fourier变换Fw

    ft=ifourier(Fw,w,t) 求“频域”函数F我的Fourier反变换ft

17. Laplace变换和反变换

    Fs=laplace(ft,t,s) 求“时域”函数ft的Laplace变换Fs

    ft=ilaplace(Fs,s,t) 求“频域”函数Fs的Laplace反变换ft

18. Z变换及其反变换

    FZ=ztrans(fn,n,z) 求“时域”序列fn的Z变换FZ

    fn=iztrans(FZ,z,n) 求“频域”序列FZ的Z反变换fn

20.

命令

含义

Colspace(A)

矩阵的列空间基

det(A)

行列式

diag(A)

取对角元构成的向量，或据向量构成对角阵

[V,D]=eig(A)

特征值分解，使AV=VD

expm(A)

矩阵指数exp（A）

inv(A)

矩阵逆

[V,J]=Jordan(A)

矩阵A的Jordan分解，使AV=AJ

null(A)

零空间的基

charpoly(A)

矩阵的特征多项式

rank(A)

矩阵秩

rref(A)

A的行阶梯形式

s=svd(A)

[U,S,V]=svd(vpa(A))

奇异值分解

tril(A)

A的下三角形式

triu(A)

A的上三角形式

 

21. 直接可视化符号表达式

命令名

含义

可执行示例

ezcontour

画等位线

ezcontour(‘cos(x+sin(y))-sin(y)’),colormap(jet)

ezcontourf

画填色等位线

colormap(flipud(cool)),ezmesh(‘sin(x)*sin(y)’)

hidden off,hold on,

ezcontourf(‘sin(x)*sin(y)’),view([34,62]),hold off

ezmesh

画网线图

ezmesh(‘exp(-s)*cos(t)’,’exp(-s)*sin(t)’,’t’,[0,8,0,4*pi])

ezmeshc

画带等位线的网线图

ezmeshc(‘y/(1+x^2+y^2)’,[-5,5,-2*pi,2*pi])

ezplot

画二维曲线

ezplot(‘1/y-log(y)+log(-1+y)+x-1’)

ezplot3

画三维曲线

ezplot3(‘sin(3*t)*cos(t)’,’sin(3*t)*sin(t)’,’t’,’animate’)

ezpolar

画极坐标曲线

ezpolar(‘sin(tan(t))’)

ezsurf

画曲面图

ezsurf(‘(x+8)*(y^2)/((x+8)^2+(y)^4+eps)’,’circ’)

shading interp,colormap(flipud(hot)),view([83,84])

ezsurfc

画带等位线的曲面图

ezsurfc(‘sin(x)*sin(y)’)

22. 单独立变量符号函数的可视化

    ezplot(Fx,[xmin,xmax,ymin,ymax]) 在指定x和y范围内，绘制y=f(x)描写的平面曲线。

    ezplot(Fxy,[xmin,xmax,ymin,ymax]) 在指定x和y范围内，绘制f(x,y)=0描写的平面曲线。

    ezplot(xt,yt,[tmin,tmax]) 在指定t范围内，绘制x=x(t),y=y(t)描写的平面曲线。

    ezplot3(xt,yt,zt,[tmin,tmax])在指定t范围内，绘制[x(t),y(t),z(t)]描写的三维空间曲线。

23．双独立变量符号函数可视化

    ezsurf(Fxyz,dom_f) 在指定矩形区域上画二元函数F(x,y,z)=0曲面

    ezsurf(Fxyz,dom_f,’circ’)在圆形区域上画二元函数F(x,y,z)=0曲面

    ezsurf(x,y,z,dom_st,ngrid)在指定矩形区域上画x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)曲面

    ezsurf(x,y,z,dom_st,’circ’)在圆形区域上画x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)曲面

 

20170727凸集投影

1. 分级块匹配运动估计及可信度验证

对低分辨率图像进行高斯滤波（消除噪点的影响），然后在滤波后的图像上估计出整数值位移量（相当于采用大图像块来估计大位移量），并以这个位移量估计值作为下一级匹配的初始值。接下来，采用双线性插值法对低分辨率图像进行采样，并对上采样图像进行高斯滤波（消除双线性插值法造成的数据不平稳性），然后在滤波后的图像上继续进行块匹配，获得亚像素精度的运动矢量。这样经过逐级上采样、高斯滤波和块匹配，可以获得要求的匹配精度。

2. 凸集投影算法原理

算法要求在一个矢量空间内定义一些闭合的凸形约束集合，实际的高分辨率图像就包含在这些约束集合中。高分辨率图像的一个估计定义为这些约束集合的交集内的一点。把任意一个初始估计向这些约束集合进行投影，就可以获得这样的高分辨率估计图像。

3. 凸集投影算法执行过程：

1)  选择一个参考帧K

2)  进行运动估计：

a)  把低分辨率图像 双线性插值到高分辨率网格上；

b)  采用高斯函数对插值放大后的低分辨率图像进行平滑处理；

c)  估计插值后的低分辨率帧与参考帧之间的运动。

3)  如果点 处的运动估计是准确的，则可以定义集合 ,并计算该点处的模糊函数 

4)  选择一副插值后的图像，经过运动补偿后作为初始估计 。采用类似方法对其他低分辨率图像进行运动补偿，并以此估计的边缘。

5)  对定义过约束集合的所有点，进行一下运算：

a)  计算残余项；

b)  采用投影算子 进行残余项的反投影运算。

6)  利用幅度约束投影算子进行幅度约束。

7)  如果满足停止准则，则停止迭代过程，否则转到步骤6.

 

20170731分形编码技术概述

1. IFS理论和拼贴定理

迭代函数系统（IFS，Interated Function System）由一完备度量空间（X,d）和一组有限的压缩变换 组成，并记作 ，若所有的 都是放射变换，则称该IFS为双曲线型IFS， 为分形码集合。

定理1：设为一双曲线型IFS，压缩率为s，则变换 有唯一的不动点（吸引子） 并且由 给出，其中 表示W的n次复合。

定理2：（拼贴定理）：设（X,d）为一完备度量空间，给定 ，若一双曲线型 的压缩率为0<s<1,且满足：

 则： 其中A为该IFS的吸引子，h为Hausdorff度量。

 

20170801基于对象的视频处理技术

1．基于对象是利用人眼的视觉特性，从轮廓、纹理的思路出发，支持基于内容的交互操作。最典型的就是基于对象的视频编码技术。

2．在基于对象的视频编码中，视频处理的基本单元是任意形状的视频对象（Video Object）基本思路：将一组输入的视频序列分割成一个或多个视频对象和相应的背景及辅助信息，对每部分内容进行编解码、存储、处理和传输。解码端根据需要灵活选择各个视频对象，合成所需要的画面。

20170801基于权值矩阵的超分辨率复原

1. 基于权值矩阵的视频序列超分辨率盲复原算法：采用运动补偿矩阵对低分辨率图像观测模型进行建模，进而将图像的超分辨率复原过程转化为权值矩阵和高分辨率图像的联合优化估计，在对降质模型参数进行有效估计的同时得到高分辨率图像的最优估计。

2. 该方法能够在复原过程中对低分辨率图像的降质参数进行有效估计，建立更为准确的观测模型，适合于降质过程复杂、难以准确描述情况下图像的超分辨率复原。

3. 盲复原退化模型的估计主要是指成像系统点扩散函数（PSF）的估计。

20170801基于小波变换域的超分辨率复原

1. 超分辨率复原是一个病态性过程，最大后验概率估计方法把图像的先验模型引入到超分辨率复原过程中，这样可以获得唯一、稳定的超分辨率图像估计。

2. 最大后验概率估计方法是在空域中实现超分辨率复原，小波域内实现图像超分辨率复原的方法，这种方法通过复原高分辨率图像的多级小波系数来达到自适应边缘保持的目的。

3. 小波复原算法特点：（1）通过对超分辨率复原中的观测模型实施正交小波变换，获得超分辨率复原问题的空频域描述；（2）采用广义高斯概率模型来构建高分辨率估计图像的尺度系数和小波系数的先验描述；（3）采用半二次正则化迭代方法来完成小波域超分辨率复原算法的求解过程。

4. 简化的小波域图像模型：假设尺度系数 的广义标准偏差为 ，小波系数 的广义标准偏差为 ，参数>0， 是与尺度 下的小波系数相对应的广义标准偏差。

5. 目前大多数贝叶斯最大后验概率估计方法是在空域中引入关于高分辨率图像的先验信息，从而获得稳定、唯一的最优估计。空域降质模型比较直观物理意义也比较明确，但在空域中不易表述高分辨率图像的边缘特性，特别是高分辨率图像在不同尺度和方向上的边缘特性，所以在空域中不易实现高分辨率图像先验模型的边缘保持能力。

6. 小波的方法把超分辨率复原问题变换到空频域中进行分析，利用低分辨率图像序列、高分辨率估计图像以及观测模型在不同尺度和方向上特性，使得超分辨率复原结果能够达到自适应边缘保持的目的。

 

20170801数组运算及其数组化编程

1. 获取数组结构参数

Nd=ndims(A)

S=size(A)

Snd=size(A,nd)

20170802理想插值函数

根据二维采样定理，对一副连续图像信号s(x,y)采样，当满足奈奎斯特采样频率，即连续信号频谱的最高频率小于折叠频率时，采样信号的频谱是原连续频率S(U,V)的周期延拓，并且原信号的频谱和各个延拓分量的频谱彼此不重叠。当满足奈奎斯特采样定理时，采用一个理想低通滤波器就能把原始图像连续信号s(x,y)由采样后的离散信号s(k,l)完全恢复出来。这个恢复过程在频域上表示为用一个一维理想内插函数即矩形窗函数进行乘运算后得到，而在空间域上表示为域用sinc函数进行卷积后得到。sinc内插函数表示为：

 

 

20170802凸集投影

1. 基于集合理论的凸集投影算法，超分辨率解空间中的解有多个限制条件，每个限制条件定义为向量空间中的凸集合。这些限制条件一般是图像的一些比较理想的性质，如正定、能量有界、数据可靠和平滑等。超分辨率复原问题的解空间就是这些凸集的限制集的交空间。POCS就是指从成像空间中任意一点开始投影定位到凸集的交集上的过程。

2. 在计算上，POCS采用重复修正的方法，首先建立高分辨率图像的初始估计图像（通常采用双线性插值的方法），然后从高分辨率估计图像上的某一点开始，将图像当前估计值投影到凸形集合上，判断当前估计图像是否满足所有的凸形约束，若不满足，则将其残差反投影到高分辨率估计图像上对其进行修正。通过多次迭代，使得最后的解落在图像解空间与约束凸集的交集内。一般来说，投影到交集上的点不是唯一的，因此最终结果往往和初始值的选取有关。

3. 凸集投影法的原理直观简单，能够将各种灵活的空域观测模型、一般的运动模型以及降质模型综合在其中，运动及观测模型的复杂度对POCS方法的性能几乎没有影响。更重要的是，它具有很强的利用先验知识的能力。一般来说，确定包含理想解特点的限制集比较容易实现，但可能施加的其他限制条件如正定性、光滑性以及能量有界性则难以用惩罚函数来表示。

4. 凸集投影算法原理：凸集投影算法要求在一个矢量空间内定义一些闭集合的凸形约束集合，而实际的高分辨率图像就包含在这些约束集合中。高分辨率图像的一个估计定义为这些约束集合的交集内的一点。把任意一个初始估计向这些约束集合进行投影，就可以获得这样的高分辨率估计图像。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. 与每一个约束集合相联系的是一个投影算子P，这个投影算子把空间内的任意一点映射到该集合内离这一点最近的点上。可以定义松弛投影算子：

 

松弛投影算子可以用来增强算法的收敛稳定性，但松弛投影算子也容易平滑掉高分辨率估计图像的一些细节，所以 的选择需要适中。

关于闭合凸形约束集合的定义，每个集合对应低分辨率图像序列 内的一个像素点，即：

 （6.18）

其中，

 

 （6.19）

式中， 表示第 幅观测图像的支撑域；

        为模型的统计不确定性，通常由空域时域可变噪声过程的标准偏差来确定；

        表示第 幅观测图像上的像素点；

        表示第k幅HR图像上的像素点；

        为从第k幅HR图像到第l幅LR图像的降质模型；

        为HR图像经降质模型后的结果与实际观测HR图像之间的偏差。

这些集合称为数据一致性约束集合。只有当云动信息可靠时才能定义 。只要对适当的观测数据进行定义，就能够很容易地把阻塞区域和未包含的背景信息结合进来，这种灵活性是凸集投影算法的一个优点。

一致性投影算子 把HR图像上的任意一点 投影到 上，定义如下：

 

还可以采用其他一些附加的非线性约束来改进结果，如关于输出能量、相位、支持域和幅度等的约束。其中最为常用的幅度约束，定义如下：

 

对于8位二进制灰度图像，取  。向幅度约束集合 进行投影所采用的投影算子定义为：

 

20170804在pyplot 中显示灰度图像

 

20170810直方图均衡化

图像的灰度直方图是用于表达图像灰度分布情况的统计图表，反映了图像中不同灰度值的像素在整幅图像中所占的比例，直方图不含空间位置方面或图像形状方面的任何信息。

直方图均衡化方法使用的非线性变换函数是灰度的概率分布函数。基本思想是：使变换后图像的直方图（概率密度函数）尽量平坦、均衡，从信息论意义上来说，这种图像的灰度信息熵最大，因此可以改变图像的视觉效果。

直方图均衡化实质是：以像素灰度的概率密度函数为准，进行灰度的压扩变换。概率密度大的地方拉伸，增强对比度；概率密度小的地方压缩，减少对比度。变换函数为：