k个最小和 K路归并问题
来源:互联网 发布:java 前景 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/19 01:14
NKOJ 3765 k个最小和
问题描述
有k个整数数组,各包含k个元素,从每个数组中选取一个元素加起来,可以得到k^k个和,求这些和中最小的k个值。
输入格式
第一行,一个整数k(k<=500)
接下来k行,每行k个正整数(<=1000000)
输出格式
一行,k个有小到大排列的整数,表示最小的k个和
这次先给出代码:
#include<stdio.h>#include<queue>#include<algorithm>#define MAXN 505using namespace std;int K,data[MAXN][MAXN],Ans;struct node{ int x,y,v; node(int a,int b,int c){x=a;y=b;v=c;}};bool operator<(node a,node b){return a.v>b.v;}priority_queue<node>Q;int main(){ int i,j,x,y,v; scanf("%d",&K); for(i=1;i<=K;i++) for(j=1;j<=K;j++)scanf("%d",&data[i][j]); for(i=1;i<=K;i++)sort(data[i]+1,data[i]+K+1); for(i=1;i<=K;i++)Ans+=data[i][1]; Q.push(node(0,1,Ans)); for(i=1;i<=K;i++) { x=Q.top().x;y=Q.top().y;v=Q.top().v;Q.pop(); printf("%d ",v); if(y<K&&x)Q.push(node(x,y+1,v+data[x][y+1]-data[x][y])); for(j=x+1;j<=K;j++)Q.push(node(j,2,v+data[j][2]-data[j][1])); }}
首先,把K个数组排序后再处理是显然的。输出的第一个数显然是每个数组的第一个元素之和。
接下来讨论之后的(K-1)个数怎么处理。很容易想到用堆来维护。为了说明算法,下面先谈一下代码中node中x,y,v的含义。
x :表示当前除第一列的数以外,已选的数中行数最大的编号。
y :表示在第x个数组中选的数为第y小的数。
v :表示当前方案的总和。
现在假设我们已经得到了第n个解以及含有若干元素的堆,那么可能扩展出的新的解的来源无非有两种:
1.将当前方案中的第x个数组中选第y小数改为选第y+1小数
2.第x个数组仍然选第y个数,但是接下来选择x+1~K数组中的第二个数
可能现在还是有些疑惑,下面主要解释两件事:
1.为什么x非要是“已选的数中行数最大的编号”?
2.为什么在来源2中,不选择1~x-1数组的数,这样不会漏选吗?
对于1,原因是为了不重复讨论,相当于给了讨论一个顺序。
对于2,答案是不会。因为这种在之前一定已经讨论过了。原因是更优的解总会被先讨论到。
假设我们之前的讨论没有错误。如果我们改变1~x-1数组选择的某个数,设当前方案中除第一列外,已选的数中数组编号第二小的数为z(最大的为x,这是条件),称为方案A。那么当方案B“x=y-1,其他选数情况不变”一定比这个更优,而且方案B已经被输出了,所以根据讨论的原理,在讨论方案B时,就已经添加了方案A。所以已经讨论过了。
这样人为添加讨论顺序的题目还有 CQOI2016 伪光滑数。可以看六号大佬的这一篇博文。
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