整数划分问题

问题：将正整数 n 划分为一系列正整数的和：

    n=n1+n2+.....+nk

    正整数的这种表示称为正整数 n 的划分。不同划分的个数称为正整数 n 的划分数，记为 p(n)。

分析：

         所谓整数划分，是指把一个正整数n写成为n=m1+m2+...+mi的形式，其中mi为正整数，并且1<=mi<=n，此时， {m1, m2, ...,    mi}为n的一个划分。如果{m1, m2, ..., mi}中的最大值不超过m，即max{m1, m2, ..., mi}<=m，那么我们称之为整数n的一个    m划分。

   根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

       （1）当 n = 1 时，不论m的值为多少（m > 0 )，只有一种划分即 { 1 };

        (2) 当 m = 1 时，不论n的值为多少，只有一种划分即 n 个 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };

        (3) 当 n = m 时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：

            (a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；

            (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 m 小，即 n 的所有 ( m - 1 ) 划分。

               因此 p(n, m) = 1 + p(n, m-1);

        (4) 当 n < m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 p(n, n);

        (5) 但 n > m 时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：

            (a). 划分中包含 m 的情况，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi }的和为 n -  m，可能再次出现 m，因此是（n - m）的 m 划分，因此这种划分个数为 p(n-m, m);

            (b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 划分，个数为 f(n, m - 1);

               因此 p(n, m) = p(n - m, m) + p(n, m - 1);

 

   综上，其递推表达式如下：

        p(n,m)= p(n,n)        ,n<m;

       1            ,n=1或m=1;

       1+p(n,m-1)      ,n=m;

       p(n,m-1)+p(n-m,m) ,n>m;

#include<stdio.h>int p(int n,int m){if(m>n)return p(n,n);if(m==1)return 1;if(m==n)return (p(n,m-1)+1);if(m<n)return p(n,m-1)+p(n-m,m);}int main(){printf("%d\n",p(6,6));return 0;}