Python机器学习——DBSCAN聚类

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  密度聚类（Density-based Clustering）假设聚类结构能够通过样本分布的紧密程度来确定。DBSCAN是常用的密度聚类算法，它通过一组邻域参数（ϵ，MinPts）来描述样本分布的紧密程度。给定数据集D={x⃗ 1，x⃗ 2，x⃗ 3，...，x⃗ N}，数据集属性定义如下。

• ϵ-邻域：Nϵ(x⃗ i)={x⃗ j∈D|distance(x⃗ i,x⃗ j)≤ϵ}，Nϵ(x⃗ i)包含了样本集D中与x⃗ i距离不大于ϵ的所有样本。

• 核心对象core object：若|Nϵ(x⃗ i)|≥MinPts，则称x⃗ i是一个核心对象。即：若x⃗ i的ϵ-邻域中至少包含MinPts个样本，则称x⃗ i是一个核心对象。

• 密度直达directly density-reachable：若x⃗ i是一个核心对象，且x⃗ j∈Nϵ(x⃗ i)，则称x⃗ j由x⃗ i密度直达，记作x⃗ i–>x⃗ j。

• 密度可达density-reachable：对于x⃗ i和x⃗ j，若存在样本序列(p⃗ 0，p⃗ 1，p⃗ 2，...，p⃗ m，p⃗ m+1），其中p⃗ 0=x⃗ i，p⃗ m+1=x⃗ j，p⃗ s∈D,s=1,2,...,m。如果p⃗ s+1由p⃗ s,s=1,2,...,m密度直达，则称x⃗ j由x⃗ i密度可达，记作x⃗ i~>x⃗ j。

• 密度相连density-connected：对于x⃗ i和x⃗ j，若存在x⃗ k，使得x⃗ i和x⃗ j均由x⃗ k密度可达，则称x⃗ j由x⃗ i密度相连，记作x⃗ i~x⃗ j。

  DBSCAN算法的定义：给定邻域参数（ϵ，MinPts），一个簇C⊆D是满足下列性质的非空样本子集：

• 接性connectivity：若x⃗ i∈C,x⃗ j∈C，则x⃗ i~x⃗ j
• 大性maximality：若x⃗ i∈C，且→xi~>x⃗ j，则x⃗ j∈C
  即一个簇是由密度可达关系导出的最大的密度相连样本集合。

  DBSCAN算法的思想：若x⃗ 为核心对象，则x⃗ 密度可达的所有样本组成的集合X={x⃗ ∗∈D|x⃗ ~>x⃗ ∗},可以证明X就是满足连接性与最大性的簇。于是DBSCAN算法首选任选数据集中的一个核心对象作为种子seed，再由此出发确定相应的聚类簇。

下面给出DBSCAN算法：

• 输入

  • 数据集D={x⃗ 1，x⃗ 2，x⃗ 3，...，x⃗ N}
  • 邻域参数（ϵ，MinPts）

• 输出：簇划分C={C1,C2,...,Ck}

• 算法步骤如下：
  
  • 初始化核心对象集合为空集：Ω=∅
  • 寻找核心对象：遍历所有的样本点x⃗ i,i=1,2,...,N，计算Nϵ(x⃗ i)，如果|Nϵ(x⃗ i)|≥MinPts，则Ω=Ω⋃{x⃗ i}
  • 迭代：以任一未访问过的核心对象为出发点，找出有其密度可达的样本生成的聚类簇，直到所有的核心对象都被访问为止

Python 实战

  DBSCAN是sciki−kearn提供的密度聚类算法模型，其原型为：

class sklearn.cluster.DBSCAN(eps=0.5,min_samples=5,metric='euclidean',algorithm='auto',leaf_size=30,p=None,random_state=None)

参数

• eps：ϵ参数，用于确定邻域大小。
• min_samples：MinPts参数，用于判断核心对象。
• metric：一个字符串或可调用对象，用于计算距离。如果是字符串，则必须是在metrics.pairwise.calculate_distance中指定。
• algorithm：一个字符串，用于计算两点间距离并找出最近邻的点，可以为如下：
  
  • ‘auto’：由算法自动取舍合适的算法。
  • ‘ball_tree’：用ball树来搜索。
  • ‘kd_tree’：用kd树搜索。
  • ‘brute’：暴力搜索。
• leaf_size：一个整数，用于指定当algorithm=ball_tree或kd_tree时，树的叶节点大小。该参数会影响构建树，搜索最近邻的速度，同时影响树的内存。
• random_state：被废弃的接口，将在scikit-learn v 0.18中移除。

属性

• core_sample_indices_：核心样本在原始训练集中的位置。
• components_：核心样本的一份副本。
• labels_：每个样本所属的簇标记。对于噪声样本，其簇标记为-1副本。

方法

• fit(X[,y,sample_weight])：训练模型。
• fit_predict(X[,y,sample_weight])：训练模型并预测每个样本所属的簇标记。

#导包from sklearn import clusterfrom sklearn.metrics import adjusted_rand_scoreimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.datasets.samples_generator import make_blobsfrom sklearn import mixturefrom sklearn.svm.libsvm import predict

#产生数据def create_data(centers,num=100,std=0.7):    X,labels_true = make_blobs(n_samples=num,centers=centers, cluster_std=std)    return X,labels_true

"""    数据作图"""def plot_data(*data):    X,labels_true=data    labels=np.unique(labels_true)    fig=plt.figure()    ax=fig.add_subplot(1,1,1)    colors='rgbycm'    for i,label in enumerate(labels):        position=labels_true==label        ax.scatter(X[position,0],X[position,1],label="cluster %d"%label),        color=colors[i%len(colors)]    ax.legend(loc="best",framealpha=0.5)    ax.set_xlabel("X[0]")    ax.set_ylabel("Y[1]")    ax.set_title("data")    plt.show()

#测试函数def test_DBSCAN(*data):    X,labels_true = data    clst = cluster.DBSCAN();    predict_labels = clst.fit_predict(X)    print("ARI:%s"%adjusted_rand_score(labels_true,predict_labels))    print("Core sample num:%d"%len(clst.core_sample_indices_))

#结果ARI:0.330307120902Core sample num:991

  其中ARI指标为0.330307120902，该值越大越好，DBSCAN根据密度，将原始数据集划分为991个簇。

下面考察ϵ参数的影响：

def test_DBSCAN_epsilon(*data):    X,labels_true = data    epsilons = np.logspace(-1,1.5)    ARIs=[]    Core_nums = []    for epsilon in epsilons:        clst = cluster.DBSCAN(eps=epsilon)        predicted_labels = clst.fit_predict(X)        ARIs.append(adjusted_rand_score(labels_true,predicted_labels))        Core_nums.append(len(clst.core_sample_indices_))    fig = plt.figure(figsize=(10,5))    ax = fig.add_subplot(1,2,1)    ax.plot(epsilons,ARIs,marker = '+')    ax.set_xscale('log')    ax.set_xlabel(r"$\epsilon$")    ax.set_ylim(0,1)    ax.set_ylabel('ARI')    ax = fig.add_subplot(1,2,2)    ax.plot(epsilons,Core_nums,marker='o')    ax.set_xscale('log')    ax.set_xlabel(r"$\epsilon$")    ax.set_ylabel('Core_num')    fig.suptitle("DBSCAN")    plt.show()

centers = [[1,1],[1,2],[2,2],[10,20]]X,labels_true = create_data(centers,1000,0.5)test_DBSCAN_epsilon(X,labels_true)

ϵ参数的影响结果如上图所示：

  可以看到ARI指数随着ϵ的增长，先上升后保持平稳，最后悬崖式下降。悬崖式下降是因为我们产生的训练样本的间距比较小，最远的两个样本之间的距离不超过30，当ϵ过大时，所有的点都在一个邻域中。
  样本核心数量随着ϵ的增长而上升，这是因为随着ϵ的增长，样本点的邻域在扩展，则样本点邻域中的样本会增多，这就产生了更多满足条件的核心样本点。但是样本集中的样本数量有限，因此核心样本点的数量增长到一定数目后会趋于稳定。

下面接着考察MinPts参数的影响：

def test_DBSCAN_min_samples(*data):    X,labels_true=data    min_samples=range(1,100)    ARIs=[]    Core_nums=[]    for num in min_samples:        clst=cluster.DBSCAN(min_samples=num)        predicted_labels=clst.fit_predict(X)        ARIs.append(adjusted_rand_score(labels_true, predicted_labels))        Core_nums.append(len(clst.core_sample_indices_))    fig=plt.figure(figsize=(10,5))    ax=fig.add_subplot(1,2,1)    ax.plot(min_samples,ARIs,marker='+')    ax.set_xlabel("min_samples")    ax.set_ylim(0,1)    ax.set_ylabel('ARI')    ax=fig.add_subplot(1,2,2)    ax.plot(min_samples,Core_nums,marker='o')    ax.set_xlabel("min_samples")    ax.set_ylabel('Core_nums')    fig.suptitle("DBSCAN")    plt.show()

centers = [[1,1],[1,2],[2,2],[10,20]]X,labels_true = create_data(centers,1000,0.5)test_DBSCAN_min_samples(X,labels_true)

MinPts参数的影响结果如下:

  可以看出ARI指数随着MinPts的增长，平稳地下降。而核心样本数量随着MinPts的增长基本呈线性下降，这是因为随着MinPts的增长，样本点的邻域中必须包含更多的样本才能使它成为一个核心点。因此产生的样本点数量越来越少。

有关ARI，请参考：

聚类的有效性指标