浅析机器学习中各种损失函数及其含义

常见的损失函数

1.0-1损失函数(0-1 loss function)

L(Y,f(X))={1,Y≠f(X)0,Y=f(X)

  可以看出，该损失函数的意义就是，当预测错误时，损失函数值为1，预测正确时，损失函数值为0。该损失函数不考虑预测值和真实值的误差程度，也就是只要预测错误，预测错误差一点和差很多是一样的。

---

2.平方损失函数(quadratic loss function)

L(Y,f(X))=(Y−f(X))2

  该损失函数的意义也很简单，就是取预测差距的平方。

---

3.绝对值损失函数(absolute loss function)

L(Y,f(X))=|Y−f(X)|

  该损失函数的意义和上面差不多，只不过是取了绝对值而不是求绝对值，差距不会被平方放大。

---

4.对数损失函数(logarithmic loss function)

L(Y,P(Y|X))=−logP(Y|X)

  这个损失函数就比较难理解了。事实上，该损失函数用到了极大似然估计的思想。P(Y|X)通俗的解释就是：在当前模型的基础上，对于样本X，其预测值为Y，也就是预测正确的概率。由于概率之间的同时满足需要使用乘法，为了将其转化为加法，我们将其取对数。最后由于是损失函数，所以预测正确的概率越高，其损失值应该是越小，因此再加个负号取个反。

---

全局损失函数

  上面的损失函数仅仅是对于一个样本来说的。而我们的优化目标函数应当是使全局损失函数最小。因此，全局损失函数往往是每个样本的损失函数之和，即：

J(w,b)=1m∑i=1mL(Y,f(X))

  对于平方损失函数，为了求导方便，我们可以在前面乘上一个1/2，和平方项求导后的2抵消，即：

J(w,b)=12m∑i=1m(Y−f(X))2

---

逻辑回归中的损失函数

  在逻辑回归中，我们采用的是对数损失函数。由于逻辑回归是服从伯努利分布(0-1分布)的，并且逻辑回归返回的sigmoid值是处于(0,1)区间，不会取到0,1两个端点。因此我们能够将其损失函数写成以下形式：

L(ŷ ,y)=−(ylogŷ +(1−y)log(1−ŷ ))

  解释一下含义：

• 当真实值y=1时，L(ŷ ,y)=−logŷ ，当预测值ŷ 越接近1，logŷ 也越接近最大值1，加上负号后就代表误差值最小。而当预测值ŷ 越接近0，logŷ 越接近负无穷，加上负号后就代表误差值最大。
• 当真实值y=0时，L(ŷ ,y)=−log(1−ŷ )，当预测值ŷ 越接近0，log(1−ŷ )也越接近最大值1，加上负号后就代表误差值最小。而当预测值ŷ 越接近1，log(1−ŷ )越接近负无穷，加上负号后就代表误差值最大。

  最后逻辑回归中对于所有样本的损失函数为：

J(w,b)=1m∑i=1mL(ŷ (i),y(i))=−1m∑i=1m[y(i)logŷ (i)+(1−y(i))log(1−ŷ (i))]