【XSY1594】棋盘控制 概率DP

题目描述

　　给你一个n×m的棋盘，每次随机在棋盘上放一个国际象棋中的车，不能和以前放的重叠。每个车可以控制当前行和当前列。当所有行和所有列都被控制时结束游戏。问你结束时期望放了多少个车。

　　注意：结束的条件是所有行和所有列都被控制，而不是所有格子都被控制。

　　n,m≤50

题解

　　简单DP

　　fi,j,k表示放了k个车后控制了i行j列的概率

fi,j,k=fi,j,k−1×(ij−(k−1))+fi,j−1,k−1×i(m−j+1)+fi−1,j,k−1×j(n−i+1)+fi−1,j−1,k−1×(n−i+1)(m−j+1)nm−k+1

　　答案是

∑i=1nmi(fn,m,i−fn,m,i−1)

　　弄个滚动数组搞一下

　　时间复杂度：O(n4)

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<utility>using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int,int> pii;double f[2][60][60];void solve(){    double ans=0;    int n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);    memset(f,0,sizeof f);    int i,j,k;    f[0][0][0]=1;    int t=0;    for(k=1;k<=n*m;k++)    {        t^=1;        double now=1./(n*m-k+1);        memset(f[t],0,sizeof f[t]);        for(i=1;i<=n;i++)            for(j=1;j<=m;j++)                f[t][i][j]=(f[t^1][i][j]*(i*j-k+1)+f[t^1][i-1][j]*(n-i+1)*j+f[t^1][i][j-1]*i*(m-j+1)+f[t^1][i-1][j-1]*(n-i+1)*(m-j+1))*now;        ans+=k*(f[t][n][m]-f[t^1][n][m]);    }    printf("%.10lf\n",ans);}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)        solve();    return 0;}