后缀数组倍增算法模板详解

参考

2009国家集训队论文 后缀数组——处理字符串的有力工具 ——罗穗骞

模板

bool cmp(int* r, int a, int b, int l) { return r[a] == r[b] && r[a+l] == r[b+l]; }void init(int* r, int* sa, int n, int m) {    int* x=wa, *y=wb, *t, i, j, p;    for (i = 0; i < m; ++i) wt[i] = 0;    for (i = 0; i < n; ++i) ++wt[x[i] = r[i]];    for (i = 1; i < m; ++i) wt[i] += wt[i - 1];    for (i = n-1; i >= 0; --i) sa[--wt[x[i]]] = i;    for (j = 1, p = 1; p < n; j <<= 1, m = p) {        //注意！每次循环要记得更新m的值！        for (p = 0, i = n-j; i < n; ++i) y[p++] = i;        for (i = 0; i < n; ++i) if (sa[i] >= j) y[p++] = sa[i] - j;        for (i = 0; i < n; ++i) wv[i] = x[y[i]];        for (i = 0; i < m; ++i) wt[i] = 0;        for (i = 0; i < n; ++i) ++wt[wv[i]];        for (i = 1; i < m; ++i) wt[i] += wt[i - 1];        for (i = n-1; i >= 0; --i) sa[--wt[wv[i]]] = y[i];        t = x, x = y, y = t, x[sa[0]] = 0;        for (p = 1, i = 1; i < n; ++i) x[sa[i]] = cmp(y, sa[i], sa[i-1], j) ? p - 1 : p++;    }    for (i = 0; i < n; ++i) rk[sa[i]] = i;    int k = 0;    for (i = 0; i < n - 1; h[rk[i++]] = k) {        //注意！这里上界是n-1而不是n，因为sa[n-1] = 0        for (k = k ? --k : 0, j = sa[rk[i] - 1]; r[i+k] == r[j+k]; ++k);    }}

解释

请在理解了算法的基础上食用

参数

void init(int* r, int* sa, int n, int m);

r：原字符串

sa：后缀数组，sa[i]=j 的含义是 rank[suffix(j)]=i ，即后缀 [j,n−1] 的排名是 i，亦即排名第 i 的字符串的开头位置是 j

n：原字符串的长度，保证 r[n−1]=0

m：原字符串中最大的字符值

第一部分

    for (i = 0; i < m; ++i) wt[i] = 0;    for (i = 0; i < n; ++i) ++wt[x[i] = r[i]];    for (i = 1; i < m; ++i) wt[i] += wt[i - 1];    for (i = n-1; i >= 0; --i) sa[--wt[x[i]]] = i;

wt[ ] 数组完成计数排序的功能。

x[ ] 数组和后面的用法统一，x[i] 记录以 i 开头，长度为 j 的字符串的排名。在这里，长度 j 为 1，故排名可以直接由 r[ ] 等价而来。

sa[ ] 数组含义见上，sa[i] 记录排名第 i 名字符串的开头位置，在计算过程中，排名是针对 [i,i+j−1] 一段而言的。

x[ ] 与 sa[ ] 互为逆运算。

第二部分

循环体

    for (j = 1, p = 1; p < n; j <<= 1, m = p) {        //注意！每次循环要记得更新m的值！

当某一次循环结束后所有排名都不相同即可停止，即名次数等于 n.

计数排序的上限 m 每次更新为当前不同的名次数。

循环体内

1.

        for (p = 0, i = n-j; i < n; ++i) y[p++] = i;        for (i = 0; i < n; ++i) if (sa[i] >= j) y[p++] = sa[i] - j;

我们知道，倍增算法的主要思想是基数排序，在这里，基数排序有两个关键字。

y[ ] 数组记录的是 以第二关键字排序后 第一关键字 的下标位置

即 y[i]=k 的含义是：排名第 i 的第二关键字，其下标为 k+j，而其对应的第一关键字下标即为 k（因为第二关键字在第一关键字之后 j 位置处）

具体操作上：

显然对于字符串的最后 j 位，它们的第二关键字均为 0，所以排在最前面的 j 个。

再从头到尾遍历一遍，将sa[ ]原顺序基本不变地放入y[ ]（注意到它们含义的相似性）。其中，如果 sa[i]<j，说明前面没有足够的长度给第一关键字，因此 i 位置不能作为一个合法的第二关键字的开始位置；否则记录下第一关键字的位置。

2.

        for (i = 0; i < n; ++i) wv[i] = x[y[i]];

y[i]=k 的含义是：排名第 i 的第二关键字，其对应的第一关键字下标即为 k；

x[i] 记录以 i 开头，长度为 j 的字符串的排名；

由此，我们得出，wv[i] 记录 排名第 i 的第二关键字，其对应的第一关键字的排名。也即第二关键字升序排序后对应的第一关键字。

3.

        for (i = 0; i < m; ++i) wt[i] = 0;        for (i = 0; i < n; ++i) ++wt[wv[i]];        for (i = 1; i < m; ++i) wt[i] += wt[i - 1];        for (i = n-1; i >= 0; --i) sa[--wt[wv[i]]] = y[i];

再做一遍计数排序，使得在第二关键字升序的基础上，第一关键字也升序，将下标一个个填进去。

4.

        t = x, x = y, y = t, x[sa[0]] = 0;        for (p = 1, i = 1; i < n; ++i, ++p) x[sa[i]] = cmp(y, sa[i], sa[i-1], j) ? p - 1 : p;

因为x[ ]与sa[ ]互为逆运算，所有可以由sa[ ]反推x[ ]，为下一次循环做准备。

因为可能有相同的字符串，所以并不是单纯的逆运算，还需要用cmp()处理一下排名相同的情况。

bool cmp(int* r, int a, int b, int l) { return r[a] == r[b] && r[a+l] == r[b+l]; }

只需比较第一关键字和第二关键字即可。（注意，这里的 r 不是初始字符串，传进去的参数事实上是 y，也即原来的 x，即对应段字符串的排名）

第三部分

    for (i = 0; i < n; ++i) rk[sa[i]] = i;    int k = 0;    for (i = 0; i < n - 1; h[rk[i++]] = k) {        //注意！这里上界是n-1而不是n，因为sa[n-1] = 0        for (k = k ? --k : 0, j = sa[rk[i] - 1]; r[i+k] == r[j+k]; ++k);    }

求 height 值，利用性质 h[i]≥h[i−1]−1，代码中的 h[ ] 即为 height[ ]，k 即为 h[ ]