散列表——理论

参考本书，第一遍看完对证明以及一些结论完全是一脸懵逼，于是又参考了《算法导论》,自己整理了一下知识：(对比两本书，明白两点，一、看英文定义才是王道； 二、没有那个智商就不要有那么强的求知欲)

散列表( hash table):

特点：

·不需要序的信息（这也是个缺点啊）；

·对输入数据是否有序持怀疑，数组可代替AVL树；

·实际存储的关键字数组比全部的可能关键字总数要小，即N个关键字存储到M个空间也能找得到(N>M)，散列可代替数组。

优： insert、delete、search    只需O(1);

缺： 一些需要序的操作，如findMax等；

总起：  

以优点为希冀，则希望 存储空间 允许为每一个关键字(key) 保留一个位置，来  直接寻址(即 k放入槽(slot) k, 这样的是直接寻址表

(direct—address table)，简单、快捷)，但是 关键字的无限 以及 存储单元的 有限 形成矛盾，于是借助散列函数，k放入h(k)，从而使得存储空间又关键字个数N》》》散列表大小m。

这就会产生一个问题，必然有冲突啊，如何处理？如何保持速度？

一个是从源头用优秀的hash function (随机)；

另一个是从结果解决冲突。

解决冲突：

装填因子(load factor) α=n/m

链接法( (seperate chaining)):   

最简单 、α≈1、借助链表，同一hash值的key在一个链表里；

前提：假设为简单均匀散列(simple uniform hashing)

操作：

·insert(不在表内，即不需要先查找检验): O(1)       [插入到表的前端，由于新插入的元素最有可能不久又被访问]

·search(不理想): 与表长成正比

分析:函数计算O(1) 查找不成功 θ(1+α) /查找成功 θ(1+α) [平均访问1+α个节点]》》》查找是一个常数时间，而查找到以后的 insert和delete即为O(1);

·delete: O(1) [双向链：废空间；单链：则慢于查找]ps:前面那是书上的意思，但是我个人认为，如果位置不知道，不如用两个指针的单链查找，则二者皆为与表长成正比，单链又可节省空间。

缺点：借助了另一种数据结构(浪费空间) 且 新单元分配需要时间(new 节点)；

开放寻址法(open addressing):

探测散列表(probing hash table) 、α<=0.5、由于不借助外部，则所有元素均分布在散表中，那么元素间则构成了一个探测序列(即一个有意无意间的排序)；

前提：假设为均匀散列(uniform hashing)即探测序列有m!种 、 表大小为素数(一个不太接近2的整数幂的素数)，否则

备选单元会过早用完；

操作：

·delete:是懒惰删除，否则不知道其后是否还有元素，不能给查找操作一个理由；

·search:理想情况下：期望探查次数： 成功 1/αln(1/(1-α));不成功 1/(1-α)

·线性探测(liner probing):【m种】

h(k,i) = (h'(k) + i) mod m ,(i = 0,1,2,...，m-1)

操作： 查找： 成功：1/2(1+1/(1-α)^2);不成功：1/2(1+1/(1-α))

缺点：一次聚集,平均查找时间越来越大，由于下一个被占用 (i+1)/m;

·平方探测(quadratic probing):【m种】

h(k,i) = (h'(k) + ci + c'i^2) mod m ,(i = 0,1,2,...，m-1) [ 实践首选 ]

操作：查找： 成功：1-ln(1-α)-α/2；不成功：1/(1-α)-α-ln(1-α)

缺点：二次聚集 所说的聚集，就是初始位置由于冲突都一样，然后后面的变化也一样，就决定了探查序列；

*素数大小的 m +⌈m/2⌉为空 = 总能插入新元素，当表太满时(时间长，易失败),可以：

再散列(rehashing)：在原表的基础上，用新的hash function ,新表大小 为m*2后的附近素数

前提： ○表到一半满 ；○插入失败一次；○途中策略(middle-of-the-road strategy)，即以α确定；

·双散列(double hashing):【m^2种】

h(k,i) = (h1(k) +i*h2(k)) mod m ,(i = 0,1,2,...，m-1) [ 理论首选 ]

h2(k)必须与m互素：○取m为2的幂，h2为奇数；○取m为素数，h2返回较m中的正整数，eg: = 1+k mod m’(m'为<m的素数)； = m'- k mod m'

缺点：字符串这样的关键字，计算耗时；

散列函数：

要求：*近似满足均匀散列；*以自然数为基础计算 ( key>>>N)；* 常数时间计算；

启发式：

除法散列法：h(k) = k mod m

乘法散列法：h(k) =⌊m( k A mod 1)⌋ (0<A<1,一般取黄金分割比0.6180339) [kA mod 1 为小数部分]

优点：对 m 无所谓，可以为 2^p ; 缩减空间、减小冲突

随机 : 随机冲突解决方案

全域散列法(universal hash functions)：从一组精心设计的全域散列函数中，随机地选一个，计算关键字; k<>l时，两

者发生冲突的概率 <= 1/m;

　h_ab(k)=((ak+b)mod p)mod m (1<a<p-1;0<b<p-1;p:素数&关键字范围&p>m，p可选2^5-1、2^31-等)

其他：

(参考 《算法之美 隐匿在数据结构背后的原理》)

平方取中法： 先利用编码规则：k=》》标识符=》》内码=》》平方=》》取其中间的x位

优点：可产生伪随机数，故有较强的随机性； 适用于关键字码每一位都有重复出现的情况；

折叠法:移位 、分界

*著名散列函数：BKDR、RS、FNV (我不了解，就不逼逼了)

任何事情都有一个美好的期望：

完美散列（perfect hashing）:

·两级散列方式(一级不存，若只有一个元素：a=b=0) + 全域散列 二者配合直至无冲突

·关键字时静态的

·search : O(1)

性质：

·二级散列表大小为 M = N^2 (1-》1 、 2-》4 、3-》9...)；

·二级散列表大小期望值 <= 2N；

·二级散列表的存储总量 >=4N 的概率 <1/2;

新的散列算法：

(我没看太懂，尤其时后者，待明白了再更)

cuckoo hashingandhopscotch hashing

原理易，证明难，性质迷茫，不编程仿佛懂了，面对问题 ：我可能学了假散列？？！