[爬山算法] [BZOJ5041] LWD的降临

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2017.9.15 水 UOJ 裙的时候 onepointo 童鞋说这道题没人水……于是看了看……
其实就是求一个椭圆与给定圆外切的切点坐标，这个椭圆不是标准椭圆（即主轴为 x 轴）。
如果我们暴力列方程的话有如下几个方程：
切点在圆上；
切点在椭圆上；
该点处圆的切线与椭圆的切线相同。
按理说是可求的，可是切点未知，解方程很难……
问题出在并不知道切点（也不会求切线……），观察到精度要求很低，可以想到等分圆周，判断每个点为切点的情况。
怎么判断切点……不是切线不会求吗……
观察到如果该点为切点，形成的椭圆长轴长应该是最短的，类比一下两个圆的位置关系可以理解到这一点。
然后就有判断依据咯……等分圆周然后找一个 a 最小的点就是答案……
那天晚上A了……可是出题人认为暴力太简单加强了数据……等分圆周就T了（其实是WA？）
于是改进这个等分圆周的策略……

出题人：这个距离函数长得跟正弦函数差不多

？？？蛤？

证明：感性理解

？？？蛤？
这样的话爬山就可以了……复杂度玄学
可是模拟退火不仅比爬山慢而且精度比爬山低得多……不知道为什么……
纪念写的第一份爬山，并写出了倒数的速度……（感谢Claris……（大雾））
UPD：退役之后想了想，还是感觉证明很麻烦。
下面说说成果吧……劳资推了两个晚自习了QAQ
先转化一下坐标系，让原点位于两焦点中点，两焦点连线位于 x 轴上，这个可以通过坐标变换公式来完成，计算完成之后再移回去即可。
下面是坐标变换公式：
设平面直角坐标系 Oxy,O′x′y′，O′ 点在 Oxy 坐标系下坐标为 (x0,y0)，由 x 轴转到 x′ 轴转过角度为 θ。M 点在 Oxy 坐标系下坐标为 (x,y)，在 O′x′y′ 坐标系下坐标为 (x′,y′)，则满足关系：

{x′=xcosθ+ysinθ−x0y′=ycosθ−xsinθ−y0

这样就可以得到一个标准椭圆了。
联立：

{b2x2+a2y2=a2b2(x−m)2+(y−n)2=r2

于是得到了一个非常复杂的一元四次方程，注意不要将 y2 开根号，需要讨论正负，正确的方法是移项并将其平方。
然后根据盛金公式，令这个方程有四重根就好了。
没算，留坑不补了（真的太恶心了……）
换种方法？
椭圆上一点的切线可以这样作：令 P 为椭圆上一点，分别连接该点与左右焦点 F1,F2，则 ∠F1PF2 的角分线的垂线为 P 点处切线。
也就是说，圆心与 P 点连线所在直线平分 ∠F1PF2。不过这个还得等分圆周……
没什么好做法了，不如上知乎问个问题QAQ。
假题害人啊QAQ
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