常见反函数、反函数导数（微分）公式

0. 反函数基本认识

• 互为反函数之反函数的相互性：g(x) 是 f(x) 的反函数，则 f(x) 也是 g(x) 的反函数；
  
  • f(g(x))=x, g(f(x))=x

1. 反函数导数公式

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如果函数 g(x) 是 f(x) 的反函数，那么就有：

dgdx=1df(g)d(g)

证明，所谓反函数即为：f(g(x))=x，所以有（对其两边求导数）：

1=dfdgdgdx⇒dgdx=1df(g)d(g)

简单举例应用：

f(x)=x2,g(x)=x√，求 d(g)/d(x)（f(g)=g2）

dgdx=1dfdg=12g=12x√

我们再来求反三角函数的相关微分：

darcsinxdx=1dsinydy=1cosy=11−x2−−−−−√

（y=arcsinx⇒siny=x（把 y 当成直角三角形的某个锐角） ⇒ cosy=1−x2−−−−−√）