贝叶斯相关（整理）

----贝叶斯理论----

在古代，人们对一件事情发生或不发生的概率，只有固定的0和1，即要么发生，要么不发生，从来不会去考虑某件事情发生的概率有多大，不发生的概率又是多大。比如如果问那时的人们一个问题：“有一个袋子，里面装着若干个白球和黑球，请问从袋子中取得白球的概率是多少？”他们会想都不用想，会立马告诉你，取出白球的概率就是1/2，要么取到白球，要么取不到白球，即θ只能有一个值，不是1/2，就是0，而且不论你取了多少次，取得白球的概率θ始终都是1/2，即不随观察结果X的变化而变化。这种频率派的观点长期统治着人们的观念，直到后来一个名叫Thomas Bayes的人物出现。

贝叶斯认为取得白球的概率是个不确定的值，因为其中含有机遇的成分。

举个例子来理解这种机遇的成分：一个朋友创业，你明明知道创业的结果就两种，即要么成功要么失败，但你依然会忍不住去估计他创业成功的几率有多大？你如果对他为人比较了解，而且有方法、思路清晰、有毅力、且能团结周围的人，你会不由自主的估计他创业成功的几率可能在80%以上。这种不同于最开始的“非黑即白非0即1”的思考方式，便是贝叶斯式的思考方式。贝叶斯及贝叶斯派提出了一个思考问题的固定模式：

先验概率 + 样本信息 = 后验概率

上述思考模式意味着，新观察到的样本信息将修正人们以前对事物的认知。换言之，在得到新的样本信息之前，人们对样本a的认知是先验分布p(a)，在得到新的样本信息b后，人们对的认知为p(a|b)。其中，先验信息一般来源于经验跟历史资料。而后验分布p(a|b)一般也认为是在给定样本b的情况下的条件分布，而使p(a|b)达到最大的值maxarg(p(b|a))称为最大后验估计，类似于经典统计学中的极大似然估计。综合起来看，则好比是人类刚开始时对大自然只有少得可怜的先验知识，但随着不断是观察、实验获得更多的样本、结果，使得人们对自然界的规律摸得越来越透彻。所以，贝叶斯方法既符合人们日常生活的思考方式，也符合人们认识自然的规律，经过不断的发展，最终占据统计学领域的半壁江山，与经典统计学分庭抗礼。

----贝叶斯定理----

>> 条件概率就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。

>> 联合概率表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为p(A∩B)。

>> 边缘概率（又称先验概率）是某个事件发生的概率。

接下来，考虑：

>>  事件B发生之前，我们对事件A的发生有一个基本的概率判断，称为A的先验概率，用P(A)表示

>>  事件B发生之后，我们对事件A的发生概率重新评估，称为A的后验概率，用P(A|B)表示

类似的：

>>  事件A发生之前，我们对事件B的发生有一个基本的概率判断，称为B的先验概率，用P(B)表示

>>  事件A发生之后，我们对事件B的发生概率重新评估，称为B的后验概率，用P(B|A)表示

则贝叶斯公式为：

举个例子来说明贝叶斯定理的用途：经常在网上搜索东西的朋友知道，当你不小心输入一个不存在的单词时，搜索引擎会提示你是不是要输入某一个正确的单词，比如当你输入“Julw”时，系统会提示你是不是要搜索“July”。这叫做拼写检查。根据谷歌一员工写的文章显示，Google的拼写检查基于贝叶斯方法。下面我们就来看看，怎么利用贝叶斯方法，实现"拼写检查"的功能。

用户输入一个单词时，可能拼写正确，也可能拼写错误。如果把拼写正确的情况记做c（correct），拼写错误的情况记做w（wrong），那么"拼写检查"要做的事情就是：在发生w的情况下，试图推断出c。换言之：已知w，然后在若干个备选方案中，找出可能性最大的那个c，也就是求的最大值。而根据贝叶斯定理，有：

由于对于所有备选的c来说，对应的都是同一个w，所以它们的P(w)是相同的，因此我们只要最大化P(w|c)*P(c)即可。

>> P(c)表示某个正确的词的出现"概率"，它可以用"频率"代替。如果我们有一个足够大的文本库，那么这个文本库中每个单词的出现频率，就相当于它的发生概率。某个词的出现频率越高，P(c)就越大。

>> P(w|c)表示在试图拼写c的情况下，出现拼写错误w的概率。为了简化问题，假定两个单词在字形上越接近，就有越可能拼错，P(w|c)就越大。举例来说，相差一个字母的拼法，就比相差两个字母的拼法，发生概率更高。你想拼写单词July，那么错误拼成Julw（相差一个字母）的可能性，就比拼成Jullw高（相差两个字母）

所以，我们只要找到与输入单词在字形上最相近的那些词，再在其中挑出出现频率最高的一个，就能实现的最大值。

----贝叶斯网络----

贝叶斯网络(Bayesian network)，又称信念网络(Belief Network)，或有向无环图模型(directed acyclic graphical model)，是一种概率图模型，于1985年由Judea Pearl首先提出。它是一种模拟人类推理过程中因果关系的不确定性处理模型，其网络拓朴结构是一个有向无环图(DAG)。
贝叶斯网络的有向无环图中的节点表示随机变量，它们可以是可观察到的变量，或隐变量、未知参数等。认为有因果关系（或非条件独立）的变量或命题则用箭头来连接（换言之，连接两个节点的箭头代表此两个随机变量是具有因果关系，或非条件独立）。若两个节点间以一个单箭头连接在一起，表示其中一个节点是“因(parents)”，另一个是“果(children)”，两节点就会产生一个条件概率值。
例如，假设节点E直接影响到节点H，即E→H，则用从E指向H的箭头建立结点E到结点H的有向弧(E,H)，权值(即连接强度)用条件概率P(H|E)来表示，如下图所示：

贝叶斯网络定义：令G = (I,E)表示一个有向无环图(DAG)，其中I代表图形中所有的节点的集合，而E代表有向连接线段的集合，且令X = (Xi)i ∈ I为其有向无环图中的某一节点i所代表的随机变量，若节点X的联合概率可以表示成：

则称X为相对于一有向无环图G 的贝叶斯网络。

举例1：

因为a导致b，a和b导致c，所以有：

举例2：

>> smoking表示吸烟，其概率用P(S)表示，lung Cancer表示的肺癌，一个人在吸烟的情况下得肺癌的概率用P(C|S)表示

>> X-ray表示需要照医学上的X光，肺癌可能会导致需要照X光，吸烟也有可能会导致需要照X光（所以smoking也是X-ray的一个因），所以，因吸烟且得肺癌而需要照X光的概率用P(X|C,S)表示。

>> Bronchitis表示支气管炎，一个人在吸烟的情况下得支气管炎的概率用P(B|S)，dyspnoea表示呼吸困难，支气管炎可能会导致呼吸困难，肺癌也有可能会导致呼吸困难（所以lung Cancer也是dyspnoea的一个因），因吸烟且得了支气管炎导致呼吸困难的概率用P(D|C,B)表示。

lung Cancer简记为C，Bronchitis简记为B，dyspnoea简记为D，且C = 0表示lung Cancer不发生的概率，C = 1表示lung Cancer发生的概率，B等于0（B不发生）或1（B发生）也类似于C，同样的，D=1表示D发生的概率，D=0表示D不发生的概率，便可得到dyspnoea的一张概率表，如上图的最右下角所示。