数据结构 -- 树

树ADT

对于大量的输入数据，链表的线性访问时间太慢，不宜使用。我们介绍一种简单的数据结构，其大部分操作的运行时间平均为O(log N)。涉及到这种数据结构叫做二叉查找树，在计算机科学中树（tree）是非常有用的抽象概念。

预备知识

树可以用几种方式定义。一种定义树的自然的方式是递归的方法。一棵树是一些结点的集合。这个集合可以是空集；若非空，则一棵树由称作根（root）的节点r，以及0个或多个非空的子树T1，T2，T3，...，Tk组成，这些子树中每一棵的根都被来自根r的一条有向边（edge）所连接。

每一棵子树的根叫做根r的儿子（child)，而r是每一棵子树的根（root）的根的父亲（parent）。一棵树是N个节点和N-1条边的集合，其中的一个节点叫做根。每条边都将某个节点连接到它的父亲，而除去根节点外每一个节点都有一个父亲。每一个节点都可以有任意个儿子，也可能有零个儿子。没有儿子的结点叫做树叶（leaf）；具有相同父亲的结点叫做兄弟（sibling）。用类似方法可以定义祖父（grandparent）和孙子（grandchild)关系。

从节点n1到nk的路径（path)定义为结点n1,n2,n3,...,nk的一个序列，使得对于1<=i<=k,节点n(i)是n(i+1)的父亲。这条路径的长（length)为该路径上的边的条数，即k-1。对任意节点n(i)的深度为从根到n(j)的惟一路径的长。因此，根的深度为0。n(i)的高是从n(i)到一片树叶的最长路径的长，因此所有树叶的高为0。一棵树的高等于它的根的高，一棵树的深度等于它的最深的树叶的深度，该深度总是等于这棵树的高。

树的实现

实现树的一种方法可是实在每一个节点出数据外还要有一些指针，使得该节点的每一个儿子都有一个指针指向它。将每个节点的所有儿子都放在树节点的链表中。

树的节点声明

typedef struct TreeNode *PtrToNode;struct TreeNode{ElementType Element;PtrToNode FirstChild;ptrToNode NextSibling;};

树的遍历和声明

树有许多应用。流行的用法之一是包含UNIX, VAX/VMS和DOS在内的许多常用操纵系统的目录结构。例如，UNIX目录的根是/usr，/usr有三个儿子：mark、alex和bill，它们自己也是目录。这种分级文件系统非常流行，因为他能够使得用户逻辑地组织数据。在不同目录下的两个文件还可以享有相同的名字，因为它们必然有从根开始的不同的路径从而具有不同的路径名。

我们想要列出目录中所有文件的名字，我们的输出格式为：深度为d(i)的文件的名字将被d(i)次跳格（tab）缩进后打印出来。

算法如下：（列出分级文件系统中目录的例程）

static void ListDir(DirectoryOrFile D, int Depth){if(D is a legitimate entry){PrintName(D, Depth);if(D is a directory)for each child, C, of DListDir(C, Depth + 1);}}void ListDirectory(DirectoryOfFile D){ListDir(D, 0);}

算法的核心为递归过程ListDir，为了显示根时不在进行缩进，该例程需要从目录名和深度为0开始。这种遍历的的策略叫做先序遍历，在先序遍历中，对节点的处理工作是在它的诸儿子的节点被处理之前（pre）进行的。还有一种遍历树的方法是后序遍历。在后序遍历中，在一个节点处的工作实在它的诸儿子节点被计算后（post）进行的。

二叉树

概念

二叉树的每个节点都不能有多于两个的儿子。二叉树的一个性质是平均二叉树的深度要比N小得多，这个平均深度为O(根号N)。而二叉查找树，其深度的平均值是O(log N).不幸的是，这个深度可以大到N - 1的。

实现

因为一棵二叉树最多有两个儿子，所以我们可以用指针直接指向它们。树节点的声明在结构上类似于双链表的声明。一个节点可以在调用free删除后被释放。

二叉树的节点声明：

typedef struct TreeNode *PtrToNode;typedef struct PtrToNode Tree;struct TreeNode{ElementType Element;Tree Left;Tree Right;};

表达式树

表达式树的树叶是操作数，比如常数或变量，而其他的节点为操作符。由于这里所有的操作都是二元的，因此这棵树正好是二叉树。我们可以通过递归产生一个带括号的左表达式，然后打印出在根处的运算符，最后再递归地产生一个带括号的右表达式而得到一个（对两个括号整体进行运算的）中缀表达式，这种一般的方法（左，节点，右）称为中序遍历。

另一种遍历策略是递归打印出左子树，右子树，然后再打印运算符。比如： a b c * + d e * f + g * +   ，这就是后缀表达式，这种遍历叫做后序遍历。

第三种遍历策略是先打印出运算符，然后递归地打印出左子树和右子树，其结果为： + + a * b c * + * d e f g   ，是不太常用的前缀记法，这种便利策略为先序遍历。