POJ 3070 Fibonacci (矩阵快速幂)
来源:互联网 发布:申请淘宝达人网址 编辑:程序博客网 时间:2024/06/15 15:44
In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn − 1 + Fn − 2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
An alternative formula for the Fibonacci sequence is
.
Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of Fn.
The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.
For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fnare all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).
099999999991000000000-1
0346266875
如果不是提前知道斐波那契数列可以用矩阵求解,真的不好把他们两个扯上关系。
第一部分:矩阵的基础知识
1.结合性 (AB)C=A(BC).
2.对加法的分配性 (A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB .
3.对数乘的结合性 k(AB)=(kA)B =A(kB).
4.关于转置 (AB)'=B'A'.
一个矩阵就是一个二维数组,为了方便声明多个矩阵,我们一般会将矩阵封装一个类或定义一个矩阵的结构体,我采用的是后者。(弱鸡的我也直只会用结构体实现)
第二部分:矩阵相乘
若A为n×k矩阵,B为k×m矩阵,则它们的乘积AB(有时记做A·B)将是一个n×m矩阵。前一个矩阵的列数应该等于后一个矩阵的行数,得出的矩阵行数等于前一个矩阵的行数,列数等于后一个矩阵的行数。
其乘积矩阵AB的第i行第j列的元素为:
举例:A、B均为3*3的矩阵:C=A*B,下面的代码会涉及到两种运算顺序,第一种就是直接一步到位求,第二种就是每次求一列,比如第一次,C00+=a00*b00,C01+=a00*b01……第二次C00+=a00*b10,C01+=a01*b11……以此类推。。。
C00 = a00*b00 + a01*b10 + a02*b20C01 = a00*b01 + a01*b11 + a02*b21
C02 = a00*b02 + a01*b12 + a02*b22
C10 = a10*b00 + a11*b10 + a12*b20
C11 = a10*b00 + a11*b11 + a12*b21
C12 = a10*b02 + a11*b12 + a12*b22
C20 = a20*b00 + a21*b10 + a22*b20
C21 = a20*b01 + a21*b11 + a22*b21
C22 = a20*b02 + a21*b12 + a22*b22
先来一个矩阵相乘的代码:
struct matrix{ int a[2][2];};matrix Multiply_Matrix(matrix x,matrix y)//两个矩阵相乘{ matrix z;//存储新的矩阵 memset(z.a,0,sizeof(z.a)); for(int i=0; i<2; i++) for(int j=0; j<2; j++) for(int k=0; k<2; k++) { z.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j]; z.a[i][j]%=MOD; } return z;}
第三部分:矩阵快速幂 //其实和普通快速幂类似,只不过这里需要得到的是一个矩阵
神马是幂?【很多时候会被高大上的名字吓到。。。导致学习效率降低。。。其实没辣么可怕,很简单!!!】
幂又称乘方。表示一个数字乘若干次的形式,如n个a相乘的幂为a^n ,或称a^n为a的n次幂。a称为幂的底数,n称为幂的指数。——引自.度娘百科
这类题,指数都是很大很大很大很大很大很大很大的。。。霸王硬上弓的话,很容易超时的 T_T 。。。所以得快速幂→_→
学过之后发现,其实矩阵快速幂 的核心思想跟 以前学过的快速幂取模非常非常相似,只是矩阵乘法需要另外写个函数,就是上面那个代码。。。
快速幂的思路就是:
设A为矩阵,求A的N次方,N很大,1000000左右吧。。。
先看小一点的,A的9次方
A^9
= A*A*A*A*A*A*A*A*A 【一个一个乘,要乘9次】
= A*(A*A)*(A*A)*(A*A)*(A*A)【保持格式的上下统一,所以加上这句】
= A*(A^2)^4 【A平方后,再四次方,还要乘上剩下的一个A,要乘6次】
= A*((A^2)^2)^2【A平方后,再平方,再平方,还要乘上剩下的一个A,要乘4次】
也算是一种二分思想的应用吧,1000000次幂,暴力要乘1000000次,快速幂就只要(log2底1000000的对数) 次,大约20次。。。这。。。我没错吧。。。
单位矩阵: n*n的矩阵 mat ( i , i )=1; 任何一个矩阵乘以单位矩阵就是它本身 n*单位矩阵=n, 可以把单位矩阵等价为整数1。(单位矩阵用在矩阵快速幂中)
例如下图就是一个7*7的单位矩阵:
下面来实现一个矩阵快速幂:
通过位运算,减少计算次数
matrix Quick_Matrix(matrix B,int n)//矩阵快速幂{ int i,j; matrix ans; for(i=0; i<2; i++)//初始化ans for(j=0; j<2; j++) ans.a[i][j]=(i==j); while(n) { if(n&1) ans=Multiply_Matrix(ans,B); n>>=1; B=Multiply_Matrix(B,B); } return ans;}但是如何把斐波那契数列和矩阵联系起来呢?
用递归很巧妙的就联系起来了
附上代码:
#include<stdio.h>#include<string.h>#include<string>#include<algorithm>using namespace std;#define MOD 10000struct matrix{ int a[2][2];};matrix Multiply_Matrix(matrix x,matrix y)//两个矩阵相乘{ matrix z;//存储新的矩阵 memset(z.a,0,sizeof(z.a)); for(int i=0; i<2; i++) for(int j=0; j<2; j++) for(int k=0; k<2; k++) { z.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j]; z.a[i][j]%=MOD; } return z;}matrix Quick_Matrix(matrix B,int n)//矩阵快速幂{ int i,j; matrix ans; for(i=0; i<2; i++)//初始化ans for(j=0; j<2; j++) ans.a[i][j]=(i==j); while(n) { if(n&1) ans=Multiply_Matrix(ans,B); n>>=1; B=Multiply_Matrix(B,B); } return ans;}int main(){ int i,j,n; matrix A,C; while(~scanf("%d",&n)&&n!=-1) { memset(C.a,0,sizeof(C.a)); A.a[0][0]=A.a[0][1]=A.a[1][0]=1; A.a[1][1]=0; if(n==0) { printf("0\n"); continue; } C=Quick_Matrix(A,n); printf("%d\n",C.a[0][1]); } return 0;}
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