矩阵快速幂
来源:互联网 发布:淘宝网已买到的宝贝 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 10:43
无耻的粘自Margatroid
前置技能
矩阵乘法
复杂度为
当且仅当
注意:矩阵乘法不满足交换律,设
一般的,我们用矩阵去左乘一个向量,来对该向量进行线性变换。
如果对于矩阵乘法仅仅是会写代码的程度,请深入理解并能够手算,否则不要阅读以下内容。
快速幂
复杂度
这个没啥好说的,如果不会可以上网搜或者看我之前的博客
矩阵快速幂
矩阵加上快速幂,可以迅速求出线性递推式的第
求斐波那契数列
斐波那契数列的定义:
我们注意到,该数列的第你tm在放屁)
我们构造一个列向量:
然后我们考虑第简直是废话)
同样的,我们也可以构造一个列向量:
然后我们考虑一下怎么把
嗯,就这样变换。
如果我要求第
然后左边的那个矩阵的幂可以用快速幂处理,可以在
进阶版:求两项的线性递推式
题目:COGS
其实就是给斐波那契数列加上了系数。
矩阵会变成这样:
极限版:求n项的线性递推式
题目:COGS
嗯。。。这个就比较毒瘤了。。。
还是要构造矩阵。。(怕是要敲公式敲死)
还是去网上搜一个矩阵粘下来吧(懒癌爆发)
好像并没有人手敲矩阵。。决定吃螃蟹。。。
求
其中
大力构造矩阵:(md真丑)
啊。。我尽力了。。。就是这样。。敲公式真累。。。
求斐波那契数列的前n项和
即求
这个和之前的还是不太一样的,没有明确的递推式。
我们注意到前
求自然数列的前n项平方和
即求:
由于
求斐波那契数列的前n项平方和
即求
注意到
注意在推矩阵的最后以后时使用了一些骚操作,可以手推一下验证一下正确性
求自然数列的前n项立方和
即求:
注意到
参考资料
- leakov-济南集训课件:网页链接
- 维基百科-矩阵乘法:网页链接
写在最后
本文中举出的一些例子有更简单的做法,比如后三个,之所以以最复杂的形式展示出来,是为了提高构造矩阵的能力。还有,敲公式真tm累
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