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数学问题与计算机算法的关系（搜字数水贴）

前苏联有这样一道数学竞赛题：圆周上有2^k个围棋子，棋子有黑有白，现有规定如下：在两颗相同颜色的相邻棋子中放黑棋子，反之则放白棋子，如此一轮操作将原先的2^k个棋子替换为另外2^k个棋子称为一次操作：现求证：必将调整为全为黑棋子且调整次数不超过2^k（其实只有在围棋子总数为2^k时有此结论，但此处不予说明）

这类操作性问题与计算机中的算法密不可分，这种操作我觉得很像计算机中为求解某个答案做出的算法，而现在作为数学题只是提供了算法而寻求算法合理性证明，只有证明出来才说明你有可能想出这个算法

回到原题，原题元素有黑白两种，两种同一颜色为黑，反之为白的规则与奇偶计算规则十分相似:显然首先有黑为偶数白为奇数进行奇偶分析的想法，但奇偶分析更适合数论证明且其运算过于简单无法提供我们想要的这种操作（算法）的性质——有很多体现算法的性质的方法，此题我们用算子方法，选择恒等算子I和移位算子E，则在模二条件下我们发现很美妙的性质：I+I=I,E+E=I,E+I=E.此性质恰好满足奇偶运算的性质，但不同的是由于算子视为变量，运算视为多项式运算：则可此二项式运算中二项式系数使用Lucas定理解出n只能为2^k的结论：具体参考下文中文武光华的答案，其答案中的c(i,2^t-1)和c(i,2^t）即为算子运算中的二项式系数

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此题经改编后出现在2016西部数学邀请赛上，由于出题者希望降低题目难度，因此此题由证明题改为引导式的解答题，题目如下图(含文武光华工作室解答)：

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下面是张承宇教练的解答：

（由于他很牛逼，所以采用的是矩阵方法而不是Lucas定理来解决答案的证明，不过可以看出，同样也是算子转为多项式计算的方法）

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其实不难看出，很多数学问题都涉及到算法的性质和优化，有了算法，无论用什么方法，无论是利用定理还是利用特殊技巧都可以解决看似较为困难的问题；而反过来，正是数学问题的提出与解决的过程中，新的算法得以产生，旧的算法得以优化，两者其实密不可分