朴素贝叶斯分类

背景

我们先举一个例子，关于向天上抛硬币的实验，有一个训练集{h,t,x,t,t,t,t} 。那么我们通过这个训练集预测下一个抛的结果就应该是t，因为P(t)=57是最大的。
我们再举一个例子，现在有两种假设
1. 老师被外星人绑架了 — P(1)=0.00...01
2. 老师沉迷科研，忘了时间 — P(2)=0.99...99
现在老师上课迟到了，那么是什么原因呢？
1. P(late|1) = 1
2. P(late|2) = 0.15
如果仅仅从概率上来看，必然是因为假设1，因为其概率最大。
明显的，两个例子得出这样的结论是有问题的。因此我们不能仅仅考虑最简单的概率问题。
朴素贝叶斯就是一种正确地使用概率的方法。

朴素贝叶斯（Naive Bayes）是一种简单的分类算法，它的经典应用案例为人所熟知：文本分类（如垃圾邮件过滤）。很多教材都从这些案例出发，本文就不重复这些内容了，而把重点放在理论推导，三种常用模型及其编码实现。

1 理论基础

朴素贝叶斯算法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。

这里提到的贝叶斯定理、特征条件独立假设就是朴素贝叶斯的两个重要的理论基础。

1.1 贝叶斯定理

贝叶斯定理便是基于条件概率，通过P(A|B)来求P(B|A)：

P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A)

顺便提一下，上式中的分母P(A)，可以根据全概率公式分解为：

P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A|Bi)

其中P(B|A)为posterior，P(B)为priori，P(A|B)为likelihood，P(A)为evidence。

如果像背景中举的两个例子那样只依靠likelihood去进行判断，这种方式叫做Maximum Likelihood(ML)；而朴素贝叶斯则是通过Maximum a-posterior(MAP)。

1.2 特征条件独立假设

这一部分开始朴素贝叶斯的理论推导，从中你会深刻地理解什么是特征条件独立假设。

给定训练数据集(X,Y)，其中每个样本x都包括n维特征，即x=(x1,x2,x3,...,xn)，类标记集合含有k种类别，即y=(y1,y2,...,yk)。

如果现在来了一个新样本x，使用MAP方法。

那么问题就转化为求解P(y1|x),P(y2|x),...,P(yk|x)中最大的那个，即求后验概率最大的输出：argmaxykP(yk|x)

那P(yk|x)就通过贝叶斯定理求得：

P(yk|x)=P(x|yk)P(yk)P(x)

分子中的P(yk)是先验概率，根据训练集就可以简单地计算出来。

分母P(x)可以根据全概率公式算，但是对于任何输入的数据都是一个常数，所以可以忽略不计。

而条件概率P(x|yk)=P(x1,x2,...,xn|yk)，它的参数规模是指数数量级别的，假设第i维特征xi可取值的个数有Si个，类别取值个数为k个，那么参数个数为：k∏ni=1Si

这显然不可行。针对这个问题，朴素贝叶斯算法对条件概率分布作出了独立性的假设，通俗地讲就是说假设各个维度的特征x1,x2,...,xn互相独立，在这个假设的前提上，条件概率可以转化为：

P(x|yk)=P(x1,x2,...,xn|yk)=∏i=1nP(xi|yk)

这样，参数规模就降到k∑ni=1Si

将【公式2】代入【公式1】得到：

P(yk|x)=P(yk)∏ni=1P(xi|yk)P(x)

于是朴素贝叶斯分类器可表示为：

f(x)=argmaxykP(yk|x)=argmaxykP(yk)∏ni=1P(xi|yk)P(x)

因为对所有的yk，上式中的分母的值都是一样的，所以可以忽略分母部分，朴素贝叶斯分类器最终表示为：

f(x)=argmaxP(yk)∏i=1nP(xi|yk)

关于P(yk)，P(xi|yk)的求解，有以下三种常见的模型.

2. 三种常见的模型及编程实现

2.1 多项式模型

当特征是离散的时候，使用多项式模型。

当某一维特征的值xi没在训练样本中出现过时，会导致P(xi|yk)=0，所以多项式模型在计算先验概率P(yk)和条件概率P(xi|yk)时，会做一些平滑处理(smoothing)。

平滑的具体公式为：

P(yk)=Nyk+αN+kα

N是样本总数，k是类别总数，Nyk是类别为yk的样本个数，α是平滑值。

P(xi|yk)=Nyk,xi+αNyk+nα

Nyk是类别为yk的样本个数，n是特征的维数，Nyk,xi是类别为yk的样本中，第i维特征的值是xi的样本个数，α是平滑值。

当α=1时，称作Laplace平滑，当0<α<1时，称作Lidstone平滑，α=0时不做平滑。

2.1.1 举例

有如下训练数据，15个样本，2维特征X1,X2，2种类别-1，1。给定测试样本x=(2,S)T，判断其类别。

解答如下：

运用多项式模型，令α=1

• 计算先验概率

• 计算各种条件概率

• 对于给定的x=(2,S)T，计算：

由此可以判定y=-1。

2.1.2 编程实现（基于Python，Numpy）

从上面的实例可以看到，当给定训练集时，我们无非就是先计算出所有的先验概率和条件概率，然后把它们存起来。

当来一个测试样本时，我们就计算它所有可能的后验概率，最大的那个对应的就是测试样本的类别，而后验概率的计算无非就是在查找表里查找需要的值。

定义一个MultinomialNB类，它有两个主要的方法：fit(X,y)和predict(X)。fit方法其实就是训练，调用fit方法时，做的工作就是构建查找表。predict方法就是预测，调用predict方法时，做的工作就是求解所有后验概率并找出最大的那个。此外，类的构造函数__init__()中，允许设定α的值，以及设定先验概率的值。具体代码及如下：

# -*- coding: utf-8 -*-# @Author: Haonan Wu# @Date:   2017-09-03 20:04:13# @Last Modified by:   Haonan Wu# @Last Modified time: 2017-09-20 21:50:03import numpy as npclass MultinomialNB(object):    '''    Naive Bayes classifier for multinomial models    The multinomial Naive Bayes classifier is suitable for classification with discrete features     '''    def __init__(self, alpha = 1.0, fit_prior = True, class_prior = None):        '''        alpha : float, optional (default=1.0)                Setting alpha = 0 for no smoothing        fit_prior : boolean                Whether to learn class prior probabilities or not.                If false, a uniform prior will be used.        class_prior : array-like, size (n_classes,)                Prior probabilities of the classes. If specified the priors are not adjusted according to the data.        '''                       self.alpha = alpha        self.fit_prior = fit_prior        self.class_prior = class_prior        self.classes = None        self.conditional_prob = None    def _calculate_feature_prob(self, feature):        values = np.unique(feature)        total_num = float(len(feature))        value_prob = {}        denominator = total_num + len(values)*self.alpha;        for v in values:            value_prob[v] = (np.sum(np.equal(feature, v)) + self.alpha)/denominator        return value_prob    def fit(self, X, y):         '''        X and y are array-like, represent features and labels.        call fit() method to train Naive Bayes classifier.        '''            #TODO: check X,y        self.classes = np.unique(y)        #calculate class prior probabilities: P(y=ck)        if self.class_prior == None:            class_num = len(self.classes)            if not self.fit_prior:                self.class_prior = [1.0/num for _ in range(class_num)]            else:                self.class_prior = []                sample_num = float(len(y))                denominator = sample_num + class_num*self.alpha                for c in self.classes:                    c_num = np.sum(np.equal(y,c))                    self.class_prior.append((c_num+self.alpha)/denominator)        #calculate Conditional Probability: P( xj | y=ck )        self.conditional_prob = {}  # like { c0:{ x0:{ value0:0.2, value1:0.8 }, x1:{} }, c1:{...} }        for c in self.classes:            self.conditional_prob[c] = {}            for i in range(len(X[0])):  # for each feature                feature = X[np.equal(y,c)][:,i]                self.conditional_prob[c][i] = self._calculate_feature_prob(feature)        return self    #given values_prob {value0:0.2,value1:0.1,value3:0.3,.. } and target_value    #return the probability of target_value    def _get_xj_prob(self, values_prob, target_value):        return values_prob[target_value]    #predict a single sample based on (class_prior,conditional_prob)    def _predict_single_sample(self, x):        label = -1        max_posterior_prob = 0        #for each category, calculate its posterior probability: class_prior * conditional_prob        for c_index in range(len(self.classes)):            current_class_prior = self.class_prior[c_index]            current_conditional_prob = 1.0            feature_prob = self.conditional_prob[self.classes[c_index]]            j = 0            for feature_i in feature_prob.keys():                current_conditional_prob *= self._get_xj_prob(feature_prob[feature_i],x[j])                j += 1            #compare posterior probability and update max_posterior_prob, label            if current_class_prior * current_conditional_prob > max_posterior_prob:                max_posterior_prob = current_class_prior * current_conditional_prob                label = self.classes[c_index]        return label    #predict samples (also single sample)               def predict(self,X):        #TODO1:check and raise NoFitError         #ToDO2:check X        if X.ndim == 1:            return self._predict_single_sample(X)        else:            #classify each sample               labels = []            for i in range(X.shape[0]):                    label = self._predict_single_sample(X[i])                    labels.append(label)            return labelsif __name__ == '__main__':    X = np.array([                          [1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3],                          [4,5,5,4,4,4,5,5,6,6,6,5,5,6,6]                 ])    X = X.T    y = np.array([-1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,-1])    nb = MultinomialNB(alpha = 1.0, fit_prior = True)    nb.fit(X,y)    print(nb.predict(np.array([2,4]))) # 输出-1

2.2 高斯模型

当特征是连续变量的时候，运用多项式模型就会导致很多P(xi|yk)=0（不做平滑的情况下），此时即使做平滑，所得到的条件概率也难以描述真实情况。所以处理连续的特征变量，应该采用高斯模型。

2.2.1 例子

性别分类的例子
来自维基

下面是一组人类身体特征的统计资料。

性别 身高（英尺） 体重（磅） 脚掌（英寸） 男 6 180 12 男 5.92 190 11 男 5.58 170 12 男 5.92 165 10 女 5 100 6 女 5.5 150 8 女 5.42 130 7 女 5.75 150 9

已知某人身高6英尺、体重130磅，脚掌8英寸，请问该人是男是女？
根据朴素贝叶斯分类器，计算下面这个式子的值。

P(身高|性别) x P(体重|性别) x P(脚掌|性别) x P(性别)

这里的困难在于，由于身高、体重、脚掌都是连续变量，不能采用离散变量的方法计算概率。而且由于样本太少，所以也无法分成区间计算。怎么办？
这时，可以假设男性和女性的身高、体重、脚掌都是正态分布，通过样本计算出均值和方差，也就是得到正态分布的密度函数。有了密度函数，就可以把值代入，算出某一点的密度函数的值。
比如，男性的身高是均值5.855、方差0.035的正态分布。所以，男性的身高为6英尺的概率的相对值等于1.5789（大于1并没有关系，因为这里是密度函数的值，只用来反映各个值的相对可能性）。

对于脚掌和体重同样可以计算其均值与方差。有了这些数据以后，就可以计算性别的分类了。

   P(身高=6|男) x P(体重=130|男) x P(脚掌=8|男) x P(男) 　　　　= 6.1984 x e-9　　P(身高=6|女) x P(体重=130|女) x P(脚掌=8|女) x P(女) 　　　　= 5.3778 x e-4

可以看到，女性的概率比男性要高出将近10000倍，所以判断该人为女性。

总结

高斯模型假设每一维特征都服从高斯分布（正态分布）：

P(xi|yk)=12πσ2yk,i−−−−−√e−(xi−μyk,i)22σ2yk,i

μyk,i表示类别为yk的样本中，第i维特征的均值。
σ2yk,i表示类别为yk的样本中，第i维特征的方差。

2.2.2 编程实现

高斯模型与多项式模型唯一不同的地方就在于计算 P(xi|yk)，高斯模型假设各维特征服从正态分布，需要计算的是各维特征的均值与方差。所以我们定义GaussianNB类，继承自MultinomialNB并且重载相应的方法即可。代码如下：

#GaussianNB differ from MultinomialNB in these two method:# _calculate_feature_prob, _get_xj_probclass GaussianNB(MultinomialNB):        """        GaussianNB inherit from MultinomialNB,so it has self.alpha        and self.fit() use alpha to calculate class_prior        However,GaussianNB should calculate class_prior without alpha.        Anyway,it make no big different        """        #calculate mean(mu) and standard deviation(sigma) of the given feature        def _calculate_feature_prob(self,feature):                mu = np.mean(feature)                sigma = np.std(feature)                return (mu,sigma)        #the probability density for the Gaussian distribution         def _prob_gaussian(self,mu,sigma,x):                return ( 1.0/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) *                        np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2)) )        #given mu and sigma , return Gaussian distribution probability for target_value        def _get_xj_prob(self,mu_sigma,target_value):                return self._prob_gaussian(mu_sigma[0],mu_sigma[1],target_value)

2.3 伯努利模型

与多项式模型一样，伯努利模型适用于离散特征的情况，所不同的是，伯努利模型中每个特征的取值只能是1和0(以文本分类为例，某个单词在文档中出现过，则其特征值为1，否则为0).

伯努利模型中，条件概率P(xi|yk)的计算方式是：

当特征值xi为1时，P(xi|yk)=P(xi=1|yk)；

当特征值xi为0时，P(xi|yk)=1−P(xi=1|yk)；

2.3.1 编程实现

伯努利模型和多项式模型是一致的，BernoulliNB需要比MultinomialNB多定义一个二值化的方法，该方法会接受一个阈值并将输入的特征二值化（1，0）。当然也可以直接采用MultinomialNB，但需要预先将输入的特征二值化。写到这里不想写了，编程实现留给读者吧。

3 参考文献

• 维基百科Sex classification
• 朴素贝叶斯的三个常用模型：高斯、多项式、伯努利
• 朴素贝叶斯分类器的应用
• 数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法
• scikit-learn学习之贝叶斯分类算法
• 朴素贝叶斯分类