Unique Binary Search Trees--lintcode

Description

Given n, how many structurally unique BSTs (binary search trees) that store values 1…n?

Example

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

我的思路：
先列举
n=1 num=1,n=2,num=2,n=3,num=2+2+1=5,n=4,num=5+2+2+5=14.
n=5,num=14+5+2+2+5+14=42，
n=6,num=132 !=42+14+5+2+2+5+14+42=126
找不到规律。此路不通
换一条思路。以 1-n之间各个数为根节点，如：n=3时，1是根节点 num1=5,2为根节点时，num2=2,3为根节点时，num3=2,4为根节点时，num4=5.
总数是5+2+2+5=14.可是各个数当根节点的num值是多少 没有找出来。

别人的思路：
参考网址：https://segmentfault.com/a/1190000003811919
题目说明二叉树的节点是从1到n，所以我们能确定如果根为k，则根左边的数是1到k-1，根右边的数是k+1到n。还有一点技巧是，对于通过一个根来说，唯一二叉树的数量是其左子树的数量乘以右子树的数量，这是简单的乘法原理。并且，左右子树的形态数量是跟具体的数无关的，只跟这个树里有多少节点有关。而根可以选择从1到n的任意的数，唯一二叉树的总数，就是根为1到n的树相加。

所以这个就变成动态规划题了。

public int numTrees(int n) {        int[] dp = new int[n + 1];        dp[0] = dp[1] = 1;        //从节点数2开始计算到节点数为n的BST        for(int i = 2; i < n + 1; i++){            //计算根是第一个数的BST数量，直到根是最后一个数的BST数量，这里j可以理解为根左边的节点数            for(int j = 0; j < i; j++){                //有n的节点的BST一共有 G(n)=F(1,n-1)+F(2,n-1)+...+F(n-1,n-1)个                //以i为根总共n个节点的BST有 F(i,n)=G(i-1)*G(i+1->n)个                //BST形态数量之和一共有多少个节点有关 G(i+1->n)=G(n-i)                //所以G(n)= G(0)*G(n-1)+G(1)*G(n-2)+...                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];            }        }        return dp[n];    }

搜索了一下，有一种叫做卡塔兰数。它的一般项公式为

里面的数值 跟我列举的一样，可以套用这个公式 进行计算。