面试题43：n个骰子的点数

        学习了一段时间《剑指offer》现在做了一些笔试，现在陆续把笔记上传到博客，方便自己及他人上网查看。

        题目：把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能值得出现概率。

        一共6个面，n个骰子所有点数最小值为n，最大值为6n。n个骰子的排列组合为6^n。要解决这个问题，我们需要先统计出每一个点数出现的次数，然后把每一个点数出现的次数除以6^n,就能求出每个点数出现的概率。

        解法一：基于递归求点数，时间效率不高

        把骰子分为两堆：第一堆一个，另一堆n-1个。我们需要计算第一个点数和剩下的n-1个骰子来计算点数和，把剩余的n-1个分为两堆，第一堆1个。另一堆n-2个，在统计点数和。递归思路；

        定义一个长度为6n-n+1的数组，和为s的点数出现的次数保存在数组第s-n个元素里，基于这种思路，代码如下：(递归的核心代码红色部分)

void Probability(int number, int* pProbabilities){for (int i = 1; i <= g_maxValue; ++i)Probability(number, number, i, pProbabilities);}//所有可能的sum出现的次数都统计下来void Probability(int original, int current, int sum, int* pProbabilities){if (current == 1)pProbabilities[sum - original]++;else{for (int i = 1; i <= g_maxValue; ++i){Probability(original, current - 1, i + sum, pProbabilities);}}}void PrintProbability(int number){if (number < 1)return;int maxSum = number*g_maxValue;int* pProbabilities = new int[maxSum - number + 1];for (int i = number; i <= maxSum; ++i)pProbabilities[i - number] = 0;Probability(number, pProbabilities);int total = pow((double)g_maxValue, number);for (int i = number; i <= maxSum; ++i){double ratio = (double)pProbabilities[i - number] / total;cout << "sum: " << i << " " << "ratio: " << ratio << endl;}delete[] pProbabilities;}

         由于递归的实现，它有很多计算是重复的，从而导致当number变大时性能慢的让人不能接受，关于递归的性能讨论，第二章有描述；

 

        解法二：基于循环求骰子点数，时间性能好

        用两个数组来存储骰子点数的每一个总数出现的次数。在一次循环中第一个数组中的第n个数字表示骰子和为n的出现次数，在下一个循环中，我们加上一个新的骰子，此时和为n的骰子出现的次数应该等于上一次循环中骰子点数和为n-1，n-2，n-3，n-4,n-5与n-6的次数的总和，所以我们把另一个数组的第n个数字设置为前一个数组对应的第n-1，n-2，n-3，n-4,n-5与n-6之和。代码如下：

void PrintPossiblity(int number){if (number < 1)return;int* pPro[2];pPro[0] = new int[g_maxValue*number + 1];pPro[1] = new int[g_maxValue*number + 1];for (int i = 0; i < g_maxValue*number + 1; ++i){pPro[0][i] = 0;pPro[1][i] = 0;}int flag = 0;//将第一个骰子出现和次数置为1for (int i = 1; i <= g_maxValue; ++i)pPro[flag][i] = 1;for (int k = 2; k <= number; ++k){for (int i = 0; i < k; ++i)pPro[1 - flag][i] = 0;//g_maxValue*k是K个骰子和的最大值for (int i = k; i <= g_maxValue*k; ++i){pPro[1 - flag][i] = 0;//第n个数字设置为前一个数组对应的第n-1，n-2，n-3，n-4,n-5与n-6之和for (int j = 1; j <= i&&j <= g_maxValue; ++j)pPro[1 - flag][i] += pPro[flag][i - j];}flag = 1 - flag;}int total = pow((double)g_maxValue, number);for (int i = number; i <= g_maxValue*number; ++i){double ratio = (double)pPro[flag][i] / total;cout << "sum: " << i << " " << "ratio: " << ratio << endl;}delete[] pPro[0];delete[] pPro[1];}

        在上述的代码中：定义两个数组pPro【0】，pPro【1】来存储骰子的点数之和，在一轮循环中，一个数组的第n项等于另一数组的第n-1，n-2。。。n-6的和，在下一轮循环中交换两个数组（通过改变变量flag实现）在重复这一计算过程。