一个数位dp，据说是腾讯面试题。。。

数位dp我做的比较少。。据说这个题是腾讯面试题，就记一下。。

time limit : 1s

memory limit : 256MB

描述

我们都知道二进制数的每一位可以是0或1。有一天小Hi突发奇想：如果允许使用数字2会发生什么事情？小Hi称其为扩展二进制数，例如(21)ii = 2 * 21 + 1 = 5, (112)ii = 1 * 22 + 1 * 21 + 2 = 8。

很快小Hi意识到在扩展二进制中，每个数的表示方法不是唯一的。例如8还可以有(1000)ii, (200)ii, (120)ii 三种表示方法。

对于一个给定的十进制数 N ，小Hi希望知道它的扩展二进制表示有几种方法？

输入

一个十进制整数 N。(0 ≤ N ≤ 1000000000)

输出

N的扩展二进制表示数目。

以下给出2个解答（emmmm。。其实第二个解答不是我想出来的。。）

注：请区分“二进制表示”和“扩展二进制表示”，(101010)(2)表示(扩展)二进制表示的数。

分析1（高位->低位）：

考虑用k位扩展二进制数来表示n，设其一共有f(k,n)种。设n的二进制表示有p位数。

容易得出：

1...f(k,n=0)=1  f(k=0,n!=0)=0

2...若n>(2222...2[k个2])(2)，即n>2^(k+1)-2，则就算这个k位扩展二进制数的每一位都是2，这个数也比n小，所以此时答案为0

3...若n的二进制表示不足k位，则有f(k,n)=f(k-1,n)

4...若n的二进制表示正好有k位，考虑n的扩展二进制数表示的最高位，[该位不能为2]：

若最高位为1，则剩余部分有f(k-1,n-2^(k-1))种表示

若最高位为0，则剩余部分有f(k-1,n)种表示

即此时f(k,n)=f(k-1,n-2^(k-1))+f(k-1,n)

5...若n的二进制数表示超过k位，考虑n的扩展二进制数表示的最高位，[该位不能为0]：

若最高位为1，则剩余部分有f(k-1,n-2^(k-1))种表示

若最高位为2，则剩余部分有f(k-1,n-2^k)种表示

即此时f(k,n)=f(k-1,n-2^(k-1))+f(k-1,n-2^k)

分析完了，代码自然也出来了：

（4ms通过）

#include <cstdio>#include <algorithm>#define constant const constexprint pow2_helper[31];void init_pow2(){pow2_helper[0] = 1;for (int i=1;i<=30;++i) pow2_helper[i] = pow2_helper[i-1]*2;}inline int pow2(int n){return pow2_helper[n];}inline int highbit(int n){return (*std::upper_bound(pow2_helper,pow2_helper+31,n))>>1;}int f(int bits,int n){if ((bits < 30) and (n > pow2(bits+1)-2)) return 0;else if (bits == 0) return (n?0:1);else if (pow2(bits-1) > n) return f(bits-1,n);else if (pow2(bits)-1 < n) return f(bits-1,n-pow2(bits))+f(bits-1,n-pow2(bits-1));else return f(bits-1,n-highbit(n))+f(bits-1,n);}int main(){init_pow2();int n;std::scanf("%d",&n);std::printf("%d",f(30,n));}

分析2（低位->高位）：

首先，若n==0，则答案明显为1

考虑n的二进制表示的最低位：

1...若该位为1，则n的扩展二进制表示的最低位一定为1，剩余部分需要表示n>>1

2...若该位为0，则n的扩展二进制表示的最低位可能为2：

若该位为0，则剩余部分需要表示n>>1

若该位为2，则剩余部分需要表示(n>>1)-1

哇塞，简单了好多。。。（emmmm明显这个算法不是本弱渣想出来的。。从低到高。。。）

代码理所应当的也简单了好多。。。

（0ms通过）

#include <cstdio>#include <algorithm>int f2(int n){if (n == 0) return 1;else if (n&1) return f2(n>>1);else return f2(n>>1)+f2((n>>1)-1);}int main(){int n;std::scanf("%d",&n);std::printf("%d",f2(n));}

不算大括号一共才10行.......喷血