吴恩达【深度学习工程师】学习笔记（三）

吴恩达【深度学习工程师】专项课程包含以下五门课程：

1、神经网络和深度学习；
2、改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化；
3、结构化机器学习项目；
4、卷积神经网络；
5、序列模型。

今天介绍《神经网络与深度学习》系列第三讲：神经网络基础（下）。

主要内容：

1、向量化；

2、python/numpy的一些特性；

3、逻辑回归代价函数（cost function）的解释。

1、向量化

向量化（Vectorization）就是利用矩阵运算（代替for循环），提高运算速度。

如下所示：向量化计算的速度是for循环计算速度的134倍(吴恩达的课上是300倍)。

import numpy as npimport timea = np.random.rand(1000000)b = np.random.rand(1000000)tic = time.time()c = np.dot(a,b)toc = time.time()print(c)print("Vectorized version:  " + str(1000*(toc-tic)) + " ms")c = 0tic = time.time()for i in range(1000000):    c += a[i]*b[i]toc = time.time()print(c)print("For loop:  " + str(1000*(toc-tic)) + " ms")
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输出结果：

250334.598717Vectorized version:  4.99987602234 ms250334.598717For loop:  671.000003815 ms
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在逻辑回归中，整个训练样本构成的输入矩阵X的维度是（nx，m），权重矩阵w的维度是（nx，1），b是一个常数值，而整个训练样本构成的输出矩阵Y的维度为（1，m）。利用向量化的思想，所有m个样本的线性输出Z可以用矩阵表示：

Z=wTX+b

在 numpy 中可以表示为：

Z = np.dot(w.T,X) + bA = sigmoid(Z)
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其中，w.T表示w的转置。

在梯度下降过程中，dZ的维度是（1，m），可表示为：

dZ=A−Y

db可表示为：

db=1m∑i=1mdz(i)

在 numpy 中可以表示为：

db = 1/m*np.sum(dZ)
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dw可表示为：

dw=1mX⋅dZT

在 numpy 中可以表示为：

dw = 1/m*np.dot(X,dZ.T)
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对于单次迭代，梯度下降算法流程如下所示：

Z = np.dot(w.T,X) + bA = sigmoid(Z)dZ = A-Ydw = 1/m*np.dot(X,dZ.T)db = 1/m*np.sum(dZ)w = w - alpha*dwb = b - alpha*db
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其中，alpha是学习率，决定w和b的更新速度。

2、Python中的小技巧

广播（Broadcasting）是python使用中的一种技巧，在python中可以对不同维度的矩阵进行四则混合运算，前提条件是至少有一个维度是相同的。

在python程序中为了保证矩阵运算不会出错，通常在运算前先使用 reshape() 函数来重新设定矩阵的维度。

在python/numpy中，如果我们用下列语句来定义一个向量：

a = np.random.randn(5)
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变量 a 的维度是 （5，）。它既不是行向量也不是列向量，我们把 a 叫做秩为 1 的数组。这种定义会带来一些问题。例如我们对a转置后，得到的变量还是 a 本身。

因此，如果我们要定义（5，1）的列向量或者（1，5）的行向量，要避免使用秩为 1 的数组，使用下面的语句代替：

a = np.random.randn(5,1)b = np.random.randn(1,5)
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如果已经定义成秩为 1 的数组， 也可以使用 reshape 函数重新设定 a 的维度：

a.reshape((5,1))
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3、逻辑回归代价函数解释

首先，预测输出y^的表达式可以写成：

y^=σ(wTx+b)

其中，σ(z)=11+exp(−z)。y^可以看成是预测输出为正类（+1）的概率：

y^=P(y=1|x)

那么，当y=1时：

p(y|x)=y^

当y=0时：

p(y|x)=1−y^

我们把上面两个式子整合到一个式子中，得到：

P(y|x)=y^y(1−y^)(1−y)

由于log函数的单调性，可以对上式P(y|x)进行log处理：

log P(y|x)=log y^y(1−y^)(1−y)=y log y^+(1−y)log(1−y^)

我们希望上述概率P(y|x)越大越好，对上式加上负号，则转化成了单个样本的Loss function，越小越好，也就得到了我们之前介绍的逻辑回归的Loss function形式。

L=−(y log y^+(1−y)log(1−y^))

如果对于所有m个训练样本，假设样本之间是独立同分布的（iid），我们希望总的概率越大越好：

max ∏i=1m P(y(i)|x(i))

同样引入log函数，加上负号，将上式转化为Cost function，就这样我们得到了逻辑回归代价函数cost function（注意：式中，1m表示对所有m个样本的Cost function求平均。）：

J(w,b)=−1m∑i=1mL(y^(i),y(i))=−1m∑i=1my(i) log y^(i)+(1−y(i))log(1−y^(i))