三.散列表(哈希表)原理

散列表的基本概念

散列表（hash table），是根据关键码值(Key value)而直接进行访问的数据结构。它通过把关键码值映射到表中一个位置来访问记录，以加快查找的速度，使用数组进行存储，而其数组的下标是是根据关键字通过映射函数计算出来的。这个映射函数叫做散列函数，存放记录的数组叫做散列表。

散列表是普通数组概念的推广，由于普通数组可以直接寻址，使得能在O(1)的时间内访问数组中的任意位置，如果存储空间允许，我们可以提供一个数组，为每个可能的关键字保留一个位置，以利用直接寻址技术的优势，但是这样做的缺点是明显的：如果可能的关键字数目很多，则要存储一个很大的数组，这样不太实际，甚至有时候是不可能的，而且对整个可能的关键字集合，实际上存储的关键字数目可能很小，使得分配的大部分空间都浪费掉了。

当实际存储的关键字数目比全部可能的关键字总数要小时，采用散列表就成为直接数组寻址的一种有效替代，因为散列表使用散列函数缩小了数组下标的范围，减小数组的大小。

散列函数

介绍散列函数前，我们先来介绍几个散列表的基本概念。在散列表内部，我们使用桶（bucket）来保存键值对，我们前面所说的数组索引即为桶号，决定了给定的键存于散列表的哪个桶中。

现在假设我们的散列表中有M个桶，桶号为0到M-1。我们的散列函数的功能就是把任意给定的关键字（key）转为[0, M-1]上的整数。我们对散列函数有两个基本要求：一是计算时间要短，二是尽可能把键分布在不同的桶中。对于不同类型的键，我们需要使用不同的散列函数，这样才能保证有比较好的散列效果。

一个好的散列函数应尽可能得满足简单均匀散列假设：每个关键字都被等可能地散列到散列表中的所有桶号上，并与其他关键字已散列到哪个桶号无关。当然，有些应用会要求比简单均匀散列假设更强的性质，例如要求某些很近似的关键字具有截然不同的散列值。

多数散列函数都假定关键字的全域为自然数集N={0,1,2,……}。因此，如果关键字不是自然数，就需要将关键字

1.除法散列法

除法散列法通过取关键字k除以m的余数，将k映射到m个桶中的其中一个上，即散列函数为：

在使用除法散列法时，要注意的地方是m的取值。通常，在m值的选择中，不宜选择2的幂，因为这样做了取余数运算后，相当于直接拿出了k值的低比特位。如 m = 2^p, h(k)就是k的最低p个比特。一般来说，应该选择一个适当的质数作为m，并且，m不能过于靠近2的幂，所有一个不太接近2的整数幂的素数是一个较好的选择。

2.乘法散列法

乘法散列法需要两个步骤：
第一步，用关键字k乘上常熟A(0 < A < 1)，并提取kA的小数部分。
第二步，用m乘以这个值，再向下取整，其散列函数为：

乘法散列法的一个优点是对m的选择不是特别关键，一般选择它为2的某个幂次(比如p次幂)。假设某计算机的字长为w位，而k正好可用一个单字表示。限制A为形如的一个分数，其中s是一个取自的整数，先用w为整数乘上k，其结果是一个2w位的值这里r1的为乘积的高位字，r0为乘积的低位字。所求的p为散列值中，包含了r0的p个最高有效位。

该方法对任何的A值都适用，但是对某些值效果更好，最佳的选择与带散列的数据有关。TAOCP的作者Knuth认为

也就是我们所知的黄金分割比是一个比较理想的选择。通过这样的设定，这个哈希函数的执行得到了一定的简化。如k=123456，m=16384（即2^14)，w=32 时， 可将A表示为特定的形式：2654435769/(2^32)，那么k * s = 327706022297664，其高位为76300，低位为17612864，所以低位的32位的二进制表示为00000001000011001100000001000000，其中低位的14个最高有效位为1000011，所以产生的散列值为67。

3.平方取中法

取关键字平方后的中间几位数字作为哈希函数的输入值。一个数的平方中间几位与每位数字都有关。平方取中法适用于不知道关键字的分布且位数又不是很大的情况。

4.折叠法

将关键字从左到右分割成位数相等的几部(最后一部分位数允许短些)，然后将这几部分叠加求和，并按散列表表长，取后几位作为散列地址。折叠法事先不需要知道关键的分布，适用于关键字位数较多的情况。

4.全域散列法

针对特定的散列函数，如果选择特定的某些关键字，就有可能把这些关键字全部散列到同一个桶号上，任何一个特定的散列函数都可能出现这种情况。唯一有效的改进方法是随机地选择散列函数，使之独立于要存储的关键字，这种方法称为全域散列。

全域散列法在执行开始时，就从一组精心设计的函数中，随机选择一个作为散列函数，因为随机地选择散列函数，算法在每一次执行时都会不同，这样就可以确保对于任何输入，算法都有较好的平均情况性能。

例子
以Java中的一些类为例，来介绍一下针对不同数据类型的散列函数的实现。

String类的hashCode方法如下所示：

    public int hashCode() {        int h = hash;        if (h == 0 && value.length > 0) {            char val[] = value;            for (int i = 0; i < value.length; i++) {                h = 31 * h + val[i];            }            hash = h;        }        return h;    }

hashCode方法中的value是一个char[]数组，存储中字符串的的每字符。我们可以看到在方法的最开始我们会把hash赋给h，这个hash就表示之前计算的hashCode，这样以来若之前已经计算过这个字符串对象的hashCode，这次我们就无需再计算了，直接返回之前计算过得即可。这种把hashCode缓存的策略只对不可变对象有效，因为不可变对象的hashCode是不会变的。

Integer类的hashCode方法如下所示：

    public int hashCode() {        return value;    }

其中value表示Integer对象所包装的整型值，所以Integer类的hashCode方法仅仅是简单的返回了自身的值。

Double类的hashCode方法如下所示：

    public int hashCode() {        long bits = doubleToLongBits(value);        return (int)(bits ^ (bits >>> 32));    }

我们可以看到Double类的hashCode方法首先会将它的值转为long类型，然后返回低32位和高32位异或的结果作为hashCode。

冲突的概念

这里存在一个问题，因为散列函数是确定的，某一个给定的输入应始终产生相同的结果，而散列函数是一种压缩映射，所以两个不同的关键字就可能映射成相同的下标。这种情况称之为冲突。

解决冲突的方法

好的散列函数只能尽可能的减少冲突，但是想要完全避免冲突是不可能的，所以需要解决冲突的方法。

1. 链接法

在链接法中，通过把散列到同一个下标的所有元素都放到一个链表中。该散列表的每一个成员都包括一个链表，其中存储着所有散列值相同的元素。如下图：

2.开放寻址法

在开放寻址法中，所有的元素都存放在散列表中，每个表项要么包含一个元素要么为空。开放寻址法的好处在于它不使用指针，而是计算出存取的桶号，减少了使用使用链表额外的空间消耗，使得同样的空间可以来提供更多的桶，潜在地减少了冲突，提高了检索的速度。

为了使用开放寻址法插入一个元素，需要连续地检查散列表，或称之为探查，直到找出一个空的桶来存放待插入的关键字为止。常用在计算开放寻址法中的探查序列：线性探查、二次探查和双重探查，这些技术都不能满足均匀散列假设，因为它们能产生的不同的探查序列数都不超过m平方个。（均匀散列要求有m!个探查序列）。

1）.线性探查

给定一个普通的散列函数，称之为辅助散列函数，线性探查方法使用的散列函数为：

线性探查比较容易实现，但是关键字堆积严重，效率较低，仅有m种不同的探查序列。

2）.二次探查

辅助散列函数，c1、c2为正的辅助常熟，i=0,1, … ,m-1。二次探查可减轻关键字堆积的情况，但依然仅有m种不同的探查序列。

3）.双重散列

双重散列是用于开放寻址法的最好方法之一，它采用的散列函数如下：

其中h1和h2均为辅助散列函数。为了能查找整个散列表，值h2(k)必须要与表的大小互素。有一种简便的方法确保这个条件成立，就是取m为2的幂，并设计一个总产生奇数的函数h2,。另一种方法是取m为素数，并设计一个总返回较m小的正整数的函数h2。

当m为素数或者2的幂时，双重散列法中用到了中探查序列，对于m的每一种取值，双重散列的性能看起来就非常接近理想的均匀散列的性能。

3.再散列法

事先准备多个散列函数，冲突发生时，就更换一个散列函数重新计算散列地址。

4.公共溢出区法

为所有的冲突的关键字建立一个公共的溢出区并保存。在查找时，对给定值通过散列函数计算出散列地址后，先与基本表相应位置进行比对，若相等，查找成功；若不想等，则到溢出表顺序查找对应记录。在冲突很少的情况下，公共溢出区法效率还是非常高的，结构如下图：