搞懂欧拉函数

定义

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’so totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。（百度一波 B.B）

证明

引入：已知正整数 n，求小于 n 与 n 互素的整数的个数，已给出 n 的唯一分解式 n=pa11pa22pa33...pakk 。
分析：首先考虑容斥定理。先从总数 n 中分别减去是 p1,p2,…,pk 的倍数的个数（有点拗口0.0），由于是容斥，先是 ans=n−np1−np2−…−npk ， 然后加上“同时是两个素因子的倍数”的个数 即：ans+=np1p2+np1p3+…+npk−1pk,然后呢，再减去“同时是三个素因子的倍数”的个数，然后再加上“同时是四个素因子的倍数”的个数，然后就没有然后了，最后变成了一个尴尬的数学问题，通式为：

ans=∑S⊆{p1,p2,…,pk}(−1)|s|n∏pi∈Spi (有点难敲呀,凑活看吧^_^)

这里呢把ans记做 ϕ(n) 这里的ϕ(n) 就是所谓的欧拉函数，经过大佬的简化变形如下：

ϕ(n) =n(1−1p1)(1−1p2)…(1−1pk)
ϕ(n)=n(1p1(p1−1))(1p2(p2−1))…(1pk(pk−1))

下面的求ϕ(n) 的代码

int euler_phi(int n){    int m = (int)sqrt(n + 0.5);    int ans = n;    for (int i = 2;i <= m;i++){        if (n%i == 0){       //如果存在素因子            ans = ans/i*(i-1);             while (n%i == 0) n/=i;        }    }    if(n > 1) ans = ans/n*(n-1); //考虑n本身    return ans;}

知道Eratosthenes筛法的都知道 <–这个算法的时间复杂度是O(nlogn)，已经优化的不少了，我们可以利用Eratosthenes筛法这个算法的思想，很快的得出“欧拉表”，即phi[maxn] 数组，时间复杂度为O(nlogn2),关键是怎么做呢，我们一步一步的来，先是i从2枚举到（int）n+0.5−−−−−−√，（和筛素数似的），然后利用刚枚举的 i，再次枚举i−n中所有包含i因子的数，记为j，这两个数之间存在一个递推式为：phi[j]=phi[j]/i∗(i+1),利用这个就可以求出欧拉表了。
（xjb说了一大推还不如举个例子
我们先让所有的   phi[i]=i;i∈{1,2…n}
因为phi[1]=1，所以直接先从2开始枚举即可，先是i=2,再枚举j=i,根据递推式，可知phi[2]=2,然后   j=4可知 phi[4]=4/2∗(2−1)=2;然后再是j=6推知phi[6]=6/2∗(2−1)=3.......；然后i=3,同理j先为3，得知phi[3]=2,然后j=6，还是根据递推式phi[6]=phi[6]/i∗(i−1)=3/3∗(3−1)=2;(这里解释下，因为phi[6]之前枚举i=2时已经处理过，故这里应是3而不是6)....后面的同理就行下面还是看代码吧

    void phi_table(int n,int *phi){        for (int i = 1;i <= n;i++) phi[i] = i;        for(int i = 2;i <= n;i++){            if(phi[i] == i){   //类似于Eratosthenes筛法这里                for(int j = i;j <= n;j+=i){                    phi[j] = phi[j]/i*(i-1);                }            }        }           }

性质

1.对于素数p,φ(p)=p−1，对于对两个素数p,q;φ（pq）=pq−1
2.函数的积性即：若m,n互质,则φ(mn)=φ(m)φ(n).
3.除了N=2,φ(N)都是偶数.
4.设N为正整数,∑φ(d)=N(d|N).
5.若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
6.当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
7.对于一个正整数N的素数幂分为:

N=P1q1∗P2q2∗...∗Pnqn.

φ(N)=N∗(1−1/P1)∗(1−1/P2)∗...∗(1−1/Pn).

8.在[1,x]中与x互素的数的和为：Phi(x)∗x2
简单证明：
对于gcd(x,i)=gcd(x,x−i) 那么就是成对出现的，不会出现相同的结果, 即i=x−i 假设这个成立那么有x=2∗i,gcd(x,i)=i，与已知矛盾，所以不成立， 那么显然gcd(x,i)=1 的个数为Phi(x)个，然后gcd(x,i)=1 的与 gcd(x,x−i)=1 的合并就有：   与x 互素的和就是Phi(x)∗x2