AVL树

AVL树的介绍

AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。
它是最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。相比于"二叉查找树"，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。 (关于树的高度等基本概念，请参考"二叉查找树(一)之 图文解析 和 C语言的实现 ")

上面的两张图片，左边的是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1；而右边的不是AVL树，因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3，而以8为根节点的树的高度是1)。

AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。
如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理。学AVL树，重点的地方也就是它的旋转算法；在后文的介绍中，再来对它进行详细介绍。

 

AVL树的C实现

1. 节点

1.1 定义

typedef int Type;typedef struct AVLTreeNode{    Type key;                    // 关键字(键值)    int height;    struct AVLTreeNode *left;    // 左孩子    struct AVLTreeNode *right;    // 右孩子}Node, *AVLTree;

AVL树的节点包括的几个组成对象:
(01) key -- 是关键字，是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height -- 是高度。

 

1.2 节点的创建

/* * 创建AVL树结点。 * * 参数说明： *     key 是键值。 *     left 是左孩子。 *     right 是右孩子。 */static Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right){    Node* p;    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)        return NULL;    p->key = key;    p->height = 0;    p->left = left;    p->right = right;    return p;}

 

1.3 树的高度

#define HEIGHT(p)    ( (p==NULL) ? 0 : (((Node *)(p))->height) )/* * 获取AVL树的高度 */int avltree_height(AVLTree tree){    return HEIGHT(tree);}

关于高度，有的文章中将"空二叉树的高度定义为-1"，而本文采用维基百科上的定义：树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0，非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1，根的子节点为第2层，依次类推)。

 

1.4 比较大小

#define MAX(a, b)    ( (a) > (b) ? (a) : (b) )

 

2. 旋转
前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树"，从左往右的情况依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图：

上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于"失去平衡的AVL树"的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：

(1) LL：LeftLeft，也称为"左左"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面LL情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

(2) LR：LeftRight，也称为"左右"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面LR情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

(3) RL：RightLeft，称为"右左"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面RL情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

(4) RR：RightRight，称为"右右"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面RR情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"这4种情况对应的旋转方法。

 

2.1 LL的旋转

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着"左孩子，即k1"使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，"k1的右子树"变成"k2的左子树"。

LL的旋转代码

/* * LL：左左对应的情况(左单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */static Node* left_left_rotation(AVLTree k2){    AVLTree k1;    k1 = k2->left;    k2->left = k1->right;    k1->right = k2;    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1;    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1;    return k1;}

 

2.2 RR的旋转

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

 

RR的旋转代码

/* * RR：右右对应的情况(右单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */static Node* right_right_rotation(AVLTree k1){    AVLTree k2;    k2 = k1->right;    k1->right = k2->left;    k2->left = k1;    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1;    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1;    return k2;}

 

2.3 LR的旋转

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转"，第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。

 

LR的旋转代码

/* * LR：左右对应的情况(左双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */static Node* left_right_rotation(AVLTree k3){    k3->left = right_right_rotation(k3->left);    return left_left_rotation(k3);}

 

2.4 RL的旋转
RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转"，第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。

RL的旋转代码

/* * RL：右左对应的情况(右双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */static Node* right_left_rotation(AVLTree k1){    k1->right = left_left_rotation(k1->right);    return right_right_rotation(k1);}

3. 插入
插入节点的代码

/*  * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点 * * 参数说明： *     tree AVL树的根结点 *     key 插入的结点的键值 * 返回值： *     根节点 */Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key){    if (tree == NULL)     {        // 新建节点        tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL);        if (tree==NULL)        {            printf("ERROR: create avltree node failed!\n");            return NULL;        }    }    else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况    {        tree->left = avltree_insert(tree->left, key);        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。        if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)        {            if (key < tree->left->key)                tree = left_left_rotation(tree);            else                tree = left_right_rotation(tree);        }    }    else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况    {        tree->right = avltree_insert(tree->right, key);        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。        if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)        {            if (key > tree->right->key)                tree = right_right_rotation(tree);            else                tree = right_left_rotation(tree);        }    }    else //key == tree->key)    {        printf("添加失败：不允许添加相同的节点！\n");    }    tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1;    return tree;}

 

4. 删除
删除节点的代码

/*  * 删除结点(z)，返回根节点 * * 参数说明： *     ptree AVL树的根结点 *     z 待删除的结点 * 返回值： *     根节点 */static Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z){    // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。    if (tree==NULL || z==NULL)        return NULL;    if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中    {        tree->left = delete_node(tree->left, z);        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。        if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)        {            Node *r =  tree->right;            if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right))                tree = right_left_rotation(tree);            else                tree = right_right_rotation(tree);        }    }    else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中    {        tree->right = delete_node(tree->right, z);        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。        if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)        {            Node *l =  tree->left;            if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left))                tree = left_right_rotation(tree);            else                tree = left_left_rotation(tree);        }    }    else    // tree是对应要删除的节点。    {        // tree的左右孩子都非空        if ((tree->left) && (tree->right))        {            if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right))            {                // 如果tree的左子树比右子树高；                // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点                //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。                //   (03)删除该最大节点。                // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。                Node *max = avltree_maximum(tree->left);                tree->key = max->key;                tree->left = delete_node(tree->left, max);            }            else            {                // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)                // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点                //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。                //   (03)删除该最小节点。                // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。                Node *min = avltree_maximum(tree->right);                tree->key = min->key;                tree->right = delete_node(tree->right, min);            }        }        else        {            Node *tmp = tree;            tree = tree->left ? tree->left : tree->right;            free(tmp);        }    }    return tree;}/*  * 删除结点(key是节点值)，返回根节点 * * 参数说明： *     tree AVL树的根结点 *     key 待删除的结点的键值 * 返回值： *     根节点 */Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key){    Node *z;     if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL)        tree = delete_node(tree, z);    return tree;}