dropout和L1，L2正则化的理解笔记

理解dropout

from  http://blog.csdn.net/stdcoutzyx/article/details/49022443
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开篇明义，dropout是指在深度学习网络的训练过程中，对于神经网络单元，按照一定的概率将其暂时从网络中丢弃。注意是暂时，对于随机梯度下降来说，由于是随机丢弃，故而每一个mini-batch都在训练不同的网络。

dropout是CNN中防止过拟合提高效果的一个大杀器，但对于其为何有效，却众说纷纭。在下读到两篇代表性的论文，代表两种不同的观点，特此分享给大家。

组合派

参考文献中第一篇中的观点，Hinton老大爷提出来的，关于Hinton在深度学习界的地位我就不再赘述了，光是这地位，估计这一派的观点就是“武当少林”了。注意，派名是我自己起的，各位勿笑。

观点

该论文从神经网络的难题出发，一步一步引出dropout为何有效的解释。大规模的神经网络有两个缺点：

• 费时
• 容易过拟合

这两个缺点真是抱在深度学习大腿上的两个大包袱，一左一右，相得益彰，额不，臭气相投。过拟合是很多机器学习的通病，过拟合了，得到的模型基本就废了。而为了解决过拟合问题，一般会采用ensemble方法，即训练多个模型做组合，此时，费时就成为一个大问题，不仅训练起来费时，测试起来多个模型也很费时。总之，几乎形成了一个死锁。

Dropout的出现很好的可以解决这个问题，每次做完dropout，相当于从原始的网络中找到一个更瘦的网络，如下图所示：

因而，对于一个有N个节点的神经网络，有了dropout后，就可以看做是2n个模型的集合了，但此时要训练的参数数目却是不变的，这就解脱了费时的问题。

动机论

虽然直观上看dropout是ensemble在分类性能上的一个近似，然而实际中，dropout毕竟还是在一个神经网络上进行的，只训练出了一套模型参数。那么他到底是因何而有效呢？这就要从动机上进行分析了。论文中作者对dropout的动机做了一个十分精彩的类比：

在自然界中，在中大型动物中，一般是有性繁殖，有性繁殖是指后代的基因从父母两方各继承一半。但是从直观上看，似乎无性繁殖更加合理，因为无性繁殖可以保留大段大段的优秀基因。而有性繁殖则将基因随机拆了又拆，破坏了大段基因的联合适应性。

但是自然选择中毕竟没有选择无性繁殖，而选择了有性繁殖，须知物竞天择，适者生存。我们先做一个假设，那就是基因的力量在于混合的能力而非单个基因的能力。不管是有性繁殖还是无性繁殖都得遵循这个假设。为了证明有性繁殖的强大，我们先看一个概率学小知识。

比如要搞一次恐怖袭击，两种方式： 
- 集中50人，让这50个人密切精准分工，搞一次大爆破。 
- 将50人分成10组，每组5人，分头行事，去随便什么地方搞点动作，成功一次就算。

哪一个成功的概率比较大？ 显然是后者。因为将一个大团队作战变成了游击战。

那么，类比过来，有性繁殖的方式不仅仅可以将优秀的基因传下来，还可以降低基因之间的联合适应性，使得复杂的大段大段基因联合适应性变成比较小的一个一个小段基因的联合适应性。

dropout也能达到同样的效果，它强迫一个神经单元，和随机挑选出来的其他神经单元共同工作，达到好的效果。消除减弱了神经元节点间的联合适应性，增强了泛化能力。

个人补充一点：那就是植物和微生物大多采用无性繁殖，因为他们的生存环境的变化很小，因而不需要太强的适应新环境的能力，所以保留大段大段优秀的基因适应当前环境就足够了。而高等动物却不一样，要准备随时适应新的环境，因而将基因之间的联合适应性变成一个一个小的，更能提高生存的概率。

dropout带来的模型的变化

而为了达到ensemble的特性，有了dropout后，神经网络的训练和预测就会发生一些变化。

• 训练层面

  无可避免的，训练网络的每个单元要添加一道概率流程。 
  

  对应的公式变化如下如下：

  • 没有dropout的神经网络 
    
  • 有dropout的神经网络 
    

• 测试层面

  预测的时候，每一个单元的参数要预乘以p。 
  

论文中的其他技术点

• 防止过拟合的方法：

  • 提前终止（当验证集上的效果变差的时候）
  • L1和L2正则化加权
  • soft weight sharing
  • dropout

• dropout率的选择

  • 经过交叉验证，隐含节点dropout率等于0.5的时候效果最好，原因是0.5的时候dropout随机生成的网络结构最多。
  • dropout也可以被用作一种添加噪声的方法，直接对input进行操作。输入层设为更接近1的数。使得输入变化不会太大（0.8）

• 训练过程

  • 对参数w的训练进行球形限制(max-normalization)，对dropout的训练非常有用。
  • 球形半径c是一个需要调整的参数。可以使用验证集进行参数调优
  • dropout自己虽然也很牛，但是dropout、max-normalization、large decaying learning rates and high momentum组合起来效果更好，比如max-norm regularization就可以防止大的learning rate导致的参数blow up。
  • 使用pretraining方法也可以帮助dropout训练参数，在使用dropout时，要将所有参数都乘以1/p。

• 部分实验结论

  该论文的实验部分很丰富，有大量的评测数据。

  • maxout 神经网络中得另一种方法，Cifar-10上超越dropout

  • 文本分类上，dropout效果提升有限，分析原因可能是Reuters-RCV1数据量足够大，过拟合并不是模型的主要问题

  • dropout与其他standerd regularizers的对比 
    
    • L2 weight decay
    • lasso
    • KL-sparsity
    • max-norm regularization
    • dropout
  • 特征学习 
    
    • 标准神经网络，节点之间的相关性使得他们可以合作去fix其他节点中得噪声，但这些合作并不能在unseen data上泛化，于是，过拟合，dropout破坏了这种相关性。在autoencoder上，有dropout的算法更能学习有意义的特征（不过只能从直观上，不能量化）。
    • 产生的向量具有稀疏性。
    • 保持隐含节点数目不变，dropout率变化；保持激活的隐节点数目不变，隐节点数目变化。
  • 数据量小的时候，dropout效果不好，数据量大了，dropout效果好

  • 模型均值预测

    • 使用weight-scaling来做预测的均值化
    • 使用mente-carlo方法来做预测。即对每个样本根据dropout率先sample出来k个net，然后做预测，k越大，效果越好。

  • Multiplicative Gaussian Noise 
    使用高斯分布的dropout而不是伯努利模型dropout

  • dropout的缺点就在于训练时间是没有dropout网络的2-3倍。

正则化（Regularization）

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作ℓ1-norm和ℓ2-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||22即为L2正则化项。

一般回归分析中回归w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

• L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为||w||1
• L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为||w||2

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

L1正则化和特征选择

假设有如下带L1正则化的损失函数： 

J=J0+α∑w|w|(1)

其中J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0后添加L1正则化项时，相当于对J0做了一个约束。令L=α∑w|w|，则J=J0+L，此时我们的任务变成在L约束下求出J0取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w1和w2，此时L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图：

 
图1 L1正则化

图中等值线是J0的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当J0等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小。α越大，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越小，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数： 

J=J0+α∑ww2(2)

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

 
图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下： 

J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))(3)

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为： 

θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(4)

其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子： 

θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(5)

其中λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θj不断减小，因此总得来看，θ是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

Reference

http://blog.csdn.net/stdcoutzyx/article/details/49022443

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