[模版]线段树

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线段树

线段树是个啥呀

线段树是个毛？？？在前面我只能告诉你又长又骚。线段树的代码，板子题都有将近百行，稍微有点思想的题目估计就要上一百五十行了。然后差错的时候哦查到你心累，这就是线段树……

算了还是来点正能量的吧。

线段树有着不可比拟的有点，它是可以快捷地对一段数据进行在线维护、查询的数据结构，查询和维护的时间复杂度都是（log2 n）这就很舒服了。

基本原理

线段树是一种二叉搜索树，它将一个区间放在根结点里面，然后不断把区间进行分割，直到分割成一个单位区间（可以理解为一个单结点区间，或者一个不可分割的区间），然后把所有单位区间都放在叶子结点里面，我们查找的时候就可以通过树枝进行搜，如果遇到一个区间和需要查找的区间是包含关系，那就不用查找了，直接返回这个区间的相应参数，如果交叉关系，就继续分割递归，如果没有关系，那就直接return结束本层递归。

对比

和RMQ的对比
RMQ求区间最大值运用了倍增的思想，在预处理后，可以在常数时间内完成查询，也就是查询的时间复杂度是O(1)，而预处理的时间复杂的是O(nlog2 n)，看起来是不是比这个线段树要好很多？但是——RMQ算法是局限于离线查询，不支持更改，如果要更改的话，时间复杂度蹭蹭蹭上去，而且代码复杂度也很高，我试过，头都大了。但是线段树是支持更改的在线数据结构。
和数组直接存储的对比
数组直接存储不需要预处理，修改需要O(1)的时间，但是查找单点要O(n)，查找区间的话要O(n^2)的时间。太慢了（我曹。

线段树的实现

线段树真是个好玩意儿，我们怎么实现它呢？

存储

线段树在本质上是一棵完全二叉树（想一想，为什么）
线段树的存储有很多种办法，但是最省空间的方法是：采用堆结构。对于每一个结点i，a[i]就来存储这个结点，a[2*i]来存储这个点的左孩子，a[2 *i+1]来存储这个点的右孩子。没有优化的空间复杂度是O(2n),但是数组往往需要开到4n，否则会溢出空间哦。
（待更新）

查找和更新

线段树本来就是一种二叉搜索树，查找和更新的时候就可以从根结点一层一层向下递归就ok了。

一个极好的优化

我们会发现，如果对于一棵线段树，我们每次都进行到底的搜索或修改，我们会浪费很多时间，导致tle很多点。我们会发现对于同一个元素，我们在修改维护的时候会经过一次，而且在询问的时候又会经过一次。这样对于多询问题来说就会重复判断操作。我们这里有一个解决办法——延迟修改。
我们一般称之为lazy标记（很懒，只能留到下次经过的时候再处理），然后做法就很显然了：如果当前遇到的区间被要操作的区间所覆盖，那就直接对这个根结点进行标记，以下的子结点就不用再找了，直接return掉。

各种模板

我们的模板是基于一个很好的板子题进行的：

题目

题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某区间每一个数加上x
2.将某区间每一个数乘上x
3.求出某区间每一个数的和

输入输出格式
输入格式：
第一行包含三个整数N、M、P，分别表示该数列数字的个数、操作的总个数和模数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数乘上k
操作2： 格式：2 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k
操作3： 格式：3 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和对P取模所得的结果
输出格式：
输出包含若干行整数，即为所有操作3的结果。

一些这道题必备的思路

简单来说，如果要修改一个区间的值，如果这个区间刚好被完全包含了就直接返回，打上标记（要改成多少），那么下次要用子节点的时候将标记下传即可，显然，对于本题要打两个tag,那么sum[o] = sum[o] * mul[o] + add[o],sum为和，mul为乘的数，add为加的数，那么如果我们乘一个数c,sum[o] = sum[o] * mul[o] * c + add[o] * c,将mul[o] * c和add[o] * c看作两个整体，那么可以发现如果乘一个数c的话，add数组要*c,mul数组也要*c,同理，如果加一个数c,那么只需要add数组+c即可，因为在下传标记的时候既有加，又有减（可能为0），所以add和mul数组的计算一定要将这两种情况都计算到.如果在线段树上几个区间操作的性质相同的，先把要求的数用操作需要的量给表示出来，然后对于每一种操作看看需要维护的标记的变化，最后合并一下即可.

声明

在上模板代码之前，我们先用了这个头文件：

#include<bits/stdc++.h>

这两个宏定义：

#define le l,mid,o*2#define re mid+1,r,o*2+1

n用来存储原数列的个数，m用来存储操作的个数，p用来存储需要mod的数，a数组用来存原数列，add数组用来存加法的lazy标记，mul用来存乘法的lazy标记，sum用来存累加和（或对p取模后的值）；x和y代表需要更改的区间的两个端点。

建树

void build(long long l,long long r,long long o){    mul[o]=1;//乘法基数1    add[o]=0;//加法基数0    if(l==r)//如果这个区间两端点重合啦，就是锁定单点了，这个区间只有一个元素    {        sum[o]=a[l];//这个区间的总和就是元素自身了        return;    }    int mid=(l+r)>>1;//获取中间点    build(le);//继续造树    build(re);//十年树木百年树人    sum[o]=(sum[o*2]+sum[o*2+1])%p;//第o个点的累加和是两个孩子的累加和之和}

传递lazy标记

void pushdown(int o,int k）{    sum[o*2]=(sum[o*2]*mul[o]+add[o]*(k-(k>>1)))%p;//左子树的累加和更新    sum[o*2+1]=(sum[o*2+1]*mul[o]+add[o]*(k>>1))%p;//右子树的累加和更新    //更新的顺序：先乘法标记的更新，再加上累加标记的更新。并且累加标记的更新还要注意累加的次数，一个是(k-(k>>1))，另一个是（k>>1）。    mul[o*2]=mul[o*2]*mul[o]%p    mul[o*2+1]=mul[o*2+1]*mul[o]%p;    //乘法标记也要更新的。千万别忘记    add[o*2]=(add[o*2]*mul[o]+add[o])%p;    add[o*2+1]=(add[o*2+1]*mul[o]+add[o])%p;    //加法标记更新的时候要先考虑乘法标记的更新。    mul[o]=1;    add[o]=0;    //标记清空。}

区间自加

void jia(int l,int r,int o)//三个参数，l和r代表当前在查找的区间的两个端点，o代表当前查找的区间的根结点{    if(x<=l&&r<=y)//如果区间完全被覆盖    {        add[o]=(add[o]+v)%p;//对lazy标记直接累加v，并且模p（一步一模可以避免最后long long溢出的问题）        sum[o]=(sum[o]+v*(r-l+1))%p;//对于该点的累加和也要相应加上每一个单点的改变量        return;//lazy标记的初衷，直接退出    }    pushdown(o,r-l+1);//传递lazy标记    int mid=(l+r)>>1;//获取区间中点    if(x<=mid)    jia(le);//如果x在中点左边，就说明有必要搜索左子树    if(y>mid)    jia(re);//如果y在中点右边，就说明有必要搜索右子树    sum[o]=(sum[o*2]+sum[o*2+1])%p;//是时候更新根结点的累加和了。

区间乘法

void cheng(int l,int r,int o){    if(x<=l&&r<=y)    //如果区间完全包含    {        add[o]=(add[o]*v)%p;        mul[o]=(mul[o]*v)%p;        sum[o]=(sum[o]*v)%p;            //累加和、乘法标记、加法标记全部更新。        return;//更新完就直接返回，不用多说话。    }    pushdown(o,r-l+1);//传递标记    int mid=(l+r)>>1;    if(x<=mid)    cheng(le);    if(y>mid)    cheng(re);    sum[o]=(sum[o*2]+sum[o*2+1])%p;    //这一段同上文加法。}

区间查找

long long query(int l,int r,int o){    if(x<=l&&r<=y)    return sum[o]%p;    //如果完全包含，直接返回值（lazy标记已经被pushdown了）    int mid=(l+r)>>1;//取中点    pushdown(o,r-l+1);//传递标记    long long temp=0;    if(x<=mid)    temp=(temp+query(le))%p;    //左子树的累加和    if(y>mid)    temp=(temp+query(re))%p;    //右子树的累加和    sum[o]=(sum[o*2]+sum[o*2+1])%p;    //更新根结点    return temp%p;    //返回最后值}

主函数的一些边缘操作

int main(){    n=read();    m=read();    p=read();    //快读（见下）    for(int i=1;i<=n;i++)    a[i]=read();    //读入数据    build(1,n,1);    //构造树    for(int i=1;i<=m;i++)    {        pattern=read();        //读入操作类型        if(pattern==1)        {            x=read();            y=read();            v=read();            cheng(1,n,1);        }//1就是乘法        if(pattern==2)        {            x=read();            y=read();            v=read();            jia(1,n,1);        }//2就是加法        if(pattern==3)        {            x=read();            y=read();            printf("%lld\n",query(1,n,1)%p);        }//3就是查找区间累加和并取模    }    return 0;}

快读

这是个好技能。希望大家get到

inline long long read(){    long long num=0;    char c=getchar();    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())num=num*10+c-'0';    return num;}